Question

（2005?广州模拟）如图所示，两个质量均为4m的小球A和B由轻弹簧连接，置于光滑水平面上．一颗质量为m子弹，以水平速度v₀射入A球，并在极短时间内嵌在其中．求：在运动过程中
（1）什么时候弹簧的弹性势能最大，最大值是多少？
（2）A球的最小速度和B球的最大速度．

Answer 1

分析：（1）子弹击中A球的过程中，动量守恒，由动量守恒定律求出A球的速度，当AB两球速度相等，弹簧压缩量最大时，弹簧弹性势能最大，由动量守恒定律与能量守恒定律可以求出弹簧弹性势能的最大值．
（2）当弹簧伸长量最大时，A球的速度最小，B球的速度最大，由动量守恒定律与能量守恒定律可以求出A、B两球的速度．

解答：解：整个过程分析：子弹击中A的过程，子弹与A组成的系统动量守恒；子弹、A球一起向右运动，弹簧因被压缩而产生弹力．A球开始减速，B球开始加速；当两球速度相等时，弹簧压缩量达到最大值，此时弹簧的弹性势能最大；接着，弹簧开始伸长，弹力继续使B加速而使A减速；当弹簧恢复到原长时，B球速度达到最大值，A球速度达到最小值；然后，弹簧又开始伸长，使A球加速，使B球减速．当两球速度相等时弹簧的伸长量达到最大（此时弹簧的弹性势能与压缩量最大时的弹性势能相等）…如此反复进行．所以，两球的速度达到极值的条件--弹簧形变量为零．
（1）设A、B的质量为M，由题意知M=4m，
子弹击中A的过程，子弹与A组成的系统动量守恒，
由动量守恒定律得：mv₀=（m+M）V  ①，
以子弹、A球、B球作为一系统，以子弹和A球有共同速度为初态，
子弹、A球、B球速度相同时为末态，对系统，由动量守恒定律得：
（m+M）V=（m+M+M）V′②，
由能量守恒定律得：

1

2

(m+M)V2=

1

2

(m+M+M)V′2+EP  ③，
解得：EP=

2m v 2 0

45

  ④；
（2）以子弹和A球有共同速度为初态，子弹和A球速度最小、B球速度最大为末态则
由动量守恒定律得：（m+M）V=（m+M）V_A+MV_B ⑤，
由能量守恒定律得：

1

2

(m+M)V2=

1

2

(m+M)

V

2 A

+

1

2

M

V

2 B

  ⑥，
解得：VA=

1

45

v0VB=

2

9

v0  ⑦，或V_A=

1

5

v₀，V_B=0   ⑧，
根据题意求A球的最小速度和B球的最大速度，所以V_Amin=

1

45

v₀，V_Bmax=

2

9

v₀；
答：（1）A、B两球速度相等，弹簧压缩量最大时，弹簧的弹性势能最大，最大值是

2m v 2 0

45

；
（2）A球的最小速度为

1

45

v₀，B球的最大速度为

2

9

v₀．

点评：分析清楚物体的运动过程是正确解题的关键，分析清楚运动过程后，应用动量守恒定律与能量守恒定律即可正确解题．