Question

6．如图所示，在竖直向下的磁感应强度为B的匀强磁场中，两根足够长的平行光滑金属轨道cd、ef固定在水平面内，相距为L，轨道左端c、e间连接一阻值为R的电阻．将一质量为m的导体棒ab垂直于cd、ef放在轨道上，与轨道接触良好．轨道和导体棒的电阻均不计．
（1）导体棒ab沿轨道以速度v向右做匀速运动．t=0时，磁感应强度为B₀，此时ab到达的位置恰好使cabe构成一个边长为L的正方形．为使闭合电路中不产生感应电流，求从t=0开始，磁感应强度B随时间t变化的关系式．
（2）如果匀强磁场的磁感应强度B保持不变，为使导体棒ab沿轨道以速度v向右做匀速运动，需对导体棒ab施加一个水平向右的外力F．
a．求外力F的大小；
b．通过公式推导验证：在△t时间内，外力F对导体棒ab所做的功W等于电路获得的电能E_电，也等于电阻R中产生的焦耳热Q．

Answer 1

分析 （1）要使闭合电路中不产生感应电流，穿过闭合电路的磁通量应保持不变，根据法拉第电磁感应定律列方程求解；
（2）a．根据闭合电路的欧姆定律、安培力的计算公式以及共点力的平衡条件列方程求解；
b．在△t时间内，外力F对ab所做的功W=Fv△t=BILv△t，再根据焦耳定律结合闭合电路的欧姆定律推导产生的电能．

解答 解：（1）要使闭合电路中不产生感应电流，穿过闭合电路的磁通量应保持不变．
t=0时，穿过闭合电路的磁通量
Φ=B₀L²
设t时刻匀强磁场的磁感应强度为B，此时的磁通量为：
Φ=BL（L+vt）
则  B₀L²=BL（L+vt）
得 $B=\frac{{B}_{0}L}{L+vt}$；
（2）a．导体棒ab中的感应电流为：$I=\frac{BLv}{R}$  
导体棒ab所受的安培力为：F_安=BIL  
导体棒ab匀速运动，水平外力为：F=F_安=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$；
b．导体棒ab匀速运动，有：F=F_安=BIL；
在△t时间内，外力F对ab所做的功为：W=Fv△t=BILv△t，
电动势为：E=BLv  
电路获得的电能为：E_电=qE=EI△t=BILv△t 
电阻R中产生的焦耳热为：Q=I2R△t=IR-I△t=BLv-I△t 
可见，外力F对导体棒ab所做的功W等于电路获得的电能E_电，也等于电阻R中产生的焦耳热Q．
答：（1）磁感应强度B随时间t变化的关系式为$B=\frac{{B}_{0}L}{L+vt}$．
（2）a．求外力F的大小为$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$；
b．证明见解析．

点评 对于电磁感应问题研究思路常常有两条：一条从力的角度，重点是分析安培力；另一条是能量，分析能量如何转化是关键．