Question

8．质量为M、半径为R的质量分布均匀的球体，在正中央挖去半径为$\frac{R}{4}$的小球后，剩余的部分为阴影区域，如图所示．质量为m的质点P到球心O的距离为2R，引力常量为G．试求质点P受到的万有引力．（已知半径为R的球的体积公式为V=$\frac{4}{3}$πR³）

Answer 1

分析 用没挖之前球对质点的引力，减去被挖部分对质点的引力，就是剩余部分对质点的引力．

解答 解：将挖去的球补上，则完整的大球对球外质点P的引力为
F₁=$\frac{GMm}{{（2R）}^{2}}$ …①
设半径为$\frac{R}{4}$的小球的质量为M′，则M′=ρV′…②
V′=$\frac{4π}{3}$${（\frac{R}{4}）}^{3}$…③
半径为R的球质量为M=ρV…④
V=$\frac{4{πR}^{3}}{3}$
设补上的小球对质点P的引力为F₂，则
F₂=$\frac{GM′m}{{（2R）}^{2}}$ …⑤
设挖去小球后的阴影部分对质点P的引力为F，则
F=F₁-F₂…⑥
联立①②③④⑤⑥式，解得：F=$\frac{63GMm}{25{6R}^{2}}$
答：质点P受到的万有引力是$\frac{63GMm}{25{6R}^{2}}$．

点评 本题的关键就是要对挖之前的引力和挖去部分的引力计算，而不是直接去计算剩余部分的引力，因为那是一个不规则球体，其引力直接由公式得到．