Question

如图所示，某一空间分布着有理想边界的匀强电场和匀强磁场．左侧区域匀强电场的场强大小为E，方向水平向右，电场宽度为L；中间区域匀强磁场磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外．右侧区域匀强磁场的磁感应强度大小为2B，方向垂直纸面向里，其右边界可向右边无限延伸．一个质量为m、带电量为+q的粒子（重力不计）从电场左边界上的O点由静止开始运动，穿过中间的磁场区域后进入右侧磁场区域，又回到O点，然后重复上述过程．求：
（1）带电粒子在磁场中运动的速率；
（2）中间磁场区域的宽度d；
（3）带电粒子从O点开始运动到第一次回到O点所用的时间t．

Answer 1

分析：（1）带正电的粒子在电场中做匀加速直线运动，垂直进入磁场后做匀速圆周运动，画出粒子运动的轨迹，根据动能定理即可求解带电粒子在磁场中运动的速率；
（2）粒子在磁场中由洛伦兹力充当向心力，由牛顿第二定律求出轨迹的半径．根据几何关系求解中间磁场区域的宽度；
（3）先求出在电场中运动的时间，再求出在两段磁场中运动的时间，三者之和即可带电粒子从O点开始运动到第一次回到O点所用时间．

解答：解：（1）带电粒子在电场中加速过程，由动能定理得：
qEL=

1

2

mv2，得v=

2qEL m

（2）设粒子在两磁场中做匀速圆周运动的半径分别为r₁和r₂．
由qvB=m

v2

r

得，r₁=

m 2qEL

qB

，r₂=

m 2qEL

2qB

画出带电粒子的运动轨迹如图．设两轨迹圆心连线与磁场边界成θ角，则由几何知识得
   2（r₁-r₁cosθ）=2r₂cosθ
又r₁=2r₂，
解得，cosθ=

2

3

，则sinθ=

1-cos2θ

=

5

3

故中间磁场区域的宽度d=r₁sinθ=

m 10qEL

3qB

（3）以t₁、t₂、t₃分别表示粒子在电场、中间磁场及右边磁场中运动的时间，则
   L=

.

v

t1=

v

2

t1
  vt₂=r₁?2θ
  vt₃=r₂?（π+2θ）
总时间为t=t=t₁+t₂+t₃=2

2mL qE

+

m

2qB

（π+6arccos

2

3

）
答：（1）带电粒子在磁场中运动的速率是

2qEL m

；
（2）中间磁场区域的宽度d是

m 10qEL

3qB

；
（3）带电粒子从O点开始运动到第一次回到O点所用的时间t是2

2mL qE

+

m

2qB

（π+6arccos

2

3

）．

点评：本题是带电粒子在组合场中运动的问题，解题关键是画出粒子的运动轨迹，运用几何知识求解轨迹半径．