Question

神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律．天文学家观测河外星系麦哲伦云时，发现了LMCX-3双星系统，它由可见星A和不可见的暗星B构成，两星视为质点，不考虑其它天体的影响，A、B围绕两者的连线上的O点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，如图所示，引力常量为G，由观测能够得到可见星A的速率v和运行周期T．
（1）可见星A所受暗星B的引力F_A可等效为位于O点处质量为m'的星体（视为质点）对它的引力，设A和B的质量分别为m₁、m₂．试求m′（用m₁、m₂表示）
（2）求暗星B的质量m₂与可见星A的速率v、运行周期T和质量m₁之间的关系式．

Answer 1

（1）设A、B的圆轨道半径分别为r₁、r₂，由题意知，A、B做匀速圆周运动的角速度相同，其为ω．
由牛顿运动定律，
对A：F_A=m₁ω²r₁  对B：F_B=m₂ω²r₂                F_A=F_B
设A、B之间的距离为r又r=r₁+r₂，由上述各式得r=

m1+m2

m2

r1①
由万有引力定律，有F_A=G

m1m2

r2

将①代入得FA=G

m1 m 32

(m1+m2)2r2

令FA=G

m1m′

r12

比较可得m′=

m 32

(m1+m2)2

②
（2）根据题意，可见星A所受暗星B的引力F_A可等效为位于O点处质量为m'的星体对它的引力，由牛顿第二定律，有G

m1m′

r12

=m1

v2

r1

③
得  m′=

r1v2

G

④
又可见星A的线速度大小v=

2πr1

T

⑤
由④⑤得，m′=

v3T

2πG

由②⑤可得

m 32

(m1+m2)2

=

v3T

2πG

答：（1）O点处星体质量为m′为

m 32

(m1+m2)2

．
    （2）暗星B的质量m₂与可见星A的速率v、运行周期T和质量m₁之间的关系式为

v3T

2πG