Question

“神舟”六号飞船完成了预定空间科学和技术试验任务后，返回舱于2005年10月17日4时11分开始从太空向地球表面按预定轨道返回，在离地10 km的高度打开阻力降落伞减速下降，这一过程中若返回舱所受空气阻力与速度的平方成正比，比例系数（空气阻力系数）为k，设返回舱总质量M=3 000 kg，所受空气浮力恒定不变，且认为竖直降落，从某时刻开始计时，返回舱的运动v-t图象如图中的AD曲线所示，图中AB是曲线在A点的切线，切线交于横轴一点B的坐标为（8，0），CD是平行于横轴的直线，交纵轴于C点，C的坐标为（0，8），g取10 m/s².解决下列问题：

（1）在初始时刻v₀=160 m/s时，它的加速度多大？

（2）推证空气阻力系数k的表达式并算出其值（保留三位有效数字）.

（3）返回舱在距地高度h=1 m时，飞船底部的4个反推力小火箭点火工作，使其速度由8 m/s迅速减至1 m/s后落在地面上.若忽略燃料质量的减少对返回舱总质量的影响，并忽略此阶段速度变化而引起空气阻力的变化，试估算每个小火箭的平均推力（保留两位有效数字）.

Answer 1

(1)20 m/s² (2)2.35 kg/m (3)2.4×10⁴ N

（1）根据速度—时间图象性质可知，在初始v₀=160 m/s 时，过A点切线的斜率即为此时的加速度，设为a₁，其大小为

a₁=m/s²=20 m/s².

(2)由图知，返回舱的vt图的斜率逐渐减小，最后是以v₁=8 m/s的速度做匀速运动.

设返回舱所受空气浮力为f，在t=0时，

根据牛顿第二定律则有：

kv₀²+f-Mg=Ma₁，                                 ①

速度为v₁=8 m/s时，返回舱受力平衡，即有：

kv₁²+f-Mg=0.                                   ②

由①②两式解得：k=.

代入数值得：k= kg/m=2.35 kg/m.

（3）设每支小火箭的平均推力为F₀，反推加速度大小为a₂，着地速度为v₂，由题意知，返回舱在距地高度h=1 m前，已处于匀速运动状态，故返回舱在着地前的加速度由4个小火箭的反推力产生.

根据牛顿第二定律：4F₀=Ma₂                        ③

又由运动学公式知：v₂²-v₁²=-2a₂h                   ④

由③④两式解得：

F₀=N=2.4×10⁴N.