Question

17．由三颗星体构成的系统，忽略其他星体对它们的作用，存在着一种运动形式：三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，围绕某一共同的圆心O在三角形所在平面内做相同角速度的圆周运动，若A星体质量为2m，B、C两星体的质量均为m，三角形的边长为a，求：
（1）C星体的轨道半径R
（2）三个星体做圆周运动的周期T．

Answer 1

分析 （1）C与B的质量相等，所以运行的规律也相等，然后结合向心力的公式即可求出C的轨道半径；
（2）三星体做圆周运动的周期T相等，写出C的向心加速度表达式即可求出．

解答 解：（1）由万有引力定律，A星受到B、C的引力的大小：F_BA=F_CA=$\frac{G•2{m}^{2}}{{a}^{2}}$，方向如图，
B星受到的引力分别为：${F}_{AB}=\frac{G•2{m}^{2}}{{a}^{2}}$，${F}_{CB}=\frac{G•{m}^{2}}{{a}^{2}}$，方向如图；

沿x方向：F_Bx=F_ABcos60°+F_CB=$\frac{2G{m}^{2}}{{a}^{2}}$，
沿y方向：F_By=F_ABsin60°=$\frac{\sqrt{3}G{m}^{2}}{{a}^{2}}$，
可得${F}_{B}=\sqrt{{{F}_{Bx}}^{2}+{{F}_{By}}^{2}}$=$\frac{\sqrt{7}G{m}^{2}}{{a}^{2}}$，
通过对于B的受力分析可知，由于：${F}_{AB}=\frac{G•2{m}^{2}}{{a}^{2}}$，${F}_{CB}=\frac{G{m}^{2}}{{a}^{2}}$，合力的方向经过BC的中垂线AD的中点，所以圆心O一定在BC的中垂线AD的中点处．所以：
${R}_{C}={R}_{B}=\sqrt{（\frac{1}{2}a）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{4}a）^{2}}$=$\frac{\sqrt{7}}{4}a$．
（2）对C星：${F}_{C}={F}_{B}=\frac{\sqrt{7}G{m}^{2}}{{a}^{2}}=m{R}_{C}\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$，
解得T=$π\sqrt{\frac{{a}^{3}}{Gm}}$．
答：（1）C星体的轨道半径R为$\frac{\sqrt{7}}{4}a$；
（2）三个星体做圆周运动的周期T为$π\sqrt{\frac{{a}^{3}}{Gm}}$．

点评 该题借助于三星模型考查万有引力定律，其中B与C的质量相等，则运行的规律、运动的半径是相等的．结合万有引力定律和几何关系综合求解．