Question

15．已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，不考虑地球自转的影响．求：
（1）地球第一宇宙速度v₁的表达式；
（2）若地球自转周期为T，计算地球同步卫星距离地面的高度h．

Answer 1

分析 （1）根据重力等于向心力求出地球的第一宇宙速度的表达式．
（2）根据万有引力提供向心力、万有引力等于重力，抓住同步卫星的周期等于地球自转的周期，求出地球同步卫星距离地面的高度h．

解答 解：（1）第一宇宙速度等于近地卫星的环绕速度，对近地卫星列牛顿第二定律方程有：
mg=m$\frac{{{v}_{1}}^{2}}{R}$，
解得第一宇宙速度${v}_{1}=\sqrt{gR}$．
（2）对地球的同步卫星的万有引力提供向心力，列牛顿第二定律方程
有：$\frac{GMm}{（R+h）^{2}}=m（R+h）\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$，
又 GM=gR²
联立解得   h=$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}-R$．
答：（1）地球第一宇宙速度v₁的表达式是$\sqrt{gR}$；
（2）若地球自转周期为T，计算地球同步卫星距离地面的高度是$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}-R$．

点评 解决本题的关键掌握万有引力定律的两个重要理论：1、万有引力等于重力，2、万有引力提供向心力，并能灵活运用．