Question

2．如图所示，一段固定的光滑圆弧轨道的圆弧AB所在圆的半径为4m，A，B间的高度为3.2m，圆弧上B点的切线水平，一质量为1.5kg的平板车停靠在圆弧轨道边，平板车上表面与B点等高，平板车右端固定一档板，水平地面光滑，一质量为0.5kg的物块从圆弧轨道的A点由静止释放，沿圆弧轨道滑行后滑上平板车，已知物块与平板车间的动摩擦因数为μ=0.3，平板车长L=6m，g=10m/s²，求：
（1）物块滑到B点时对圆弧轨道的压力；
（2）物块与平板车挡板相碰前一瞬间，物块与平板车的速度大小；
（3）若物块与挡板碰撞后的一瞬间速度为零，且物块最终停在离挡板$\frac{8}{9}$m处，则物块与挡板相碰过程系统损失的机械能是多少？

Answer 1

分析 （1）根据机械能守恒求出物块从A点运动到B点的速度，根据牛顿第二定律求出轨道对它的支持力，即可得到物块对轨道的压力．
（2）物块滑上小车后，小车做匀加速直线运动，物块做匀减速直线运动，由牛顿第二定律求出各自的加速度．根据物块的位移与小车的位移之差等于车长L列式，求出时间，再由速度公式求解即可．
（3）根据系统的动量守恒，求出速度相等时的共同速度，由能量守恒定律对系统列式，求出损失的机械能．

解答 解：（1）物块从A端下滑到B端，由机械能守恒得
 mgR=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
得 v_B=$\sqrt{2gR}$=$\sqrt{2×10×4}$=4$\sqrt{5}$m/s
在B点，由牛顿第二定律得
  F_N-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$
解得轨道对物块的支持力 F_N=3 mg=15 N
由牛顿第三定律可知，物块对轨道的压力为15 N．方向竖直向下．
（2）物块滑上小车后，小车做匀加速直线运动，物块做匀减速直线运动，设物块和小车的加速度大小分别为a₁和a₂．
则 a₁=$\frac{μmg}{m}$=μg=3m/s²
a₂=$\frac{μmg}{M}$=1m/s²；
设历时为t时物块与挡板相碰，则
  L=（v_Bt-$\frac{1}{2}{a}_{1}{t}^{2}$）-$\frac{1}{2}{a}_{2}{t}^{2}$
解得 t=1s（另一值不合理舍去）
故物块与平板车挡板相碰前一瞬间，物块的速度为 v₁=v_B-a₁t=5m/s
平板车的速度 v₂=a₂t=1m/s
（3）设物块与小车的共同速度为v．
取向右为正方向，根据系统的动量守恒得：
  mv_B=（M+m）v，得 v=2m/s
根据能量守恒定律得
  $\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$=μmg△S+$\frac{1}{2}（M+m）{v}^{2}$+△E
式中：△S=L+$\frac{8}{9}$m=$\frac{62}{9}$m
解得物块与挡板相碰过程系统损失的机械能△E=$\frac{5}{3}$J≈1.67J
答：
（1）物块滑到B点时对圆弧轨道的压力是15N，方向竖直向下；
（2）物块与平板车挡板相碰前一瞬间，物块与平板车的速度大小分别为5m/s和1m/s；
（3）物块与挡板相碰过程系统损失的机械能是1.67J．

点评 本题是机械能守恒、牛顿第二定律、动量守恒和能量守恒的综合应用，知道物块相对小车滑行的距离，常常根据能量守恒定律研究能量问题．