Question

5．如图所示，位于竖直平面内的光滑轨道，由一段斜的直轨道和与之相切的圆形轨道连接而成，圆形轨道的半径为R，一质量为m的小物块从斜轨道上某处由静止开始下滑，然后沿圆轨道运动，要求物块能通过圆形轨道最高点，且在该最高点与轨道间的压力不能超过7mg（g为重力加速度），求物块初始位置相对于圆形轨道底部的高度h的取值范围．

Answer 1

分析 要求物块相对于圆轨道底部的高度，必须求出物块到达圆轨道最高点的速度，在最高点，物体做圆周运动的向心力由重力和轨道对物体的压力提供，当压力恰好为0时，h最小；当压力最大时，h最大．由机械能守恒定律和牛顿第二定律结合解答．

解答 解：设小物块刚好到圆形轨道最高点的速度为v₁．在最高点对轨道的压力大小为7mg时速度为v₂．在最高点，由牛顿第二定律得：
mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
7mg+mg=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{R}$
根据机械能守恒定律得：
mg（h₁-2R）=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
mg（h₂-2R）=$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$
解得：h₁=2.5R，h₂=6R
故要求物块既能通过圆形轨道的最高点，又不使轨道离开地面，h的范围为2.5R≤h≤6R．
答：物块初始位置相对于圆形轨道底部的高度h的取值范围为2.5R≤h≤6R．

点评 物体在竖直平面内做圆周运动的过程中在最高点的最小速度必须满足重力等于向心力，这是我们解决此类问题的突破口．要知道小球做圆周运动时，由指向圆心的合力充当向心力．