Question

7．如图，质量均为m的物体A和物体B通过一劲度系数为k的轻质弹簧相连，A、B都处于静止状态．一条不可伸长的轻绳绕过轻滑轮，一端连物体A，另一端连一轻挂钩．开始时各段绳都处于伸直状态，A上方的一段绳沿竖直方向．现在挂钩上挂物体C并从静止状态释放，已知它恰好能使B离开地面但不继续上升．已知重力加速度为g．
（1）求物体C的质量；
（2）当B刚要离开地面时，AC间的轻绳的拉力多大？
（3）若将C换成质量为3m的物体D，仍从前述初始位置由静止状态释放，则这次B刚离地时D的速度的大小是多少？

Answer 1

分析 （1）物体C下降的高度等于物体A上升的高度；开始时弹簧压缩，后来弹簧拉长，物体C下落的高度h等于弹簧长度的增加量；物体B刚离开地面时，物体A恰好获得最大速度，说明物体A受力平衡，根据平衡条件列式求解；
（2）B刚要离开地面时，分别对A和C进行受力分析，结合共点力的平衡状态即可求出；
（3）若将C换成质量为3m的物体D，当B刚离地时弹簧弹性势能与初始状态相同，由机械能守恒定律即可求解．

解答 解：（1）开始时，A、B静止，设弹簧压缩量为x₁，有
kx₁=mg                    ①
挂C并释放后，C向下运动，A向上运动，设B刚要离地时弹簧伸长量为x₂，有 kx₂=mg                 ②
由①②式可知，x₁=x₂=$\frac{mg}{k}$③
B不再上升表示此时A和C的速度为零，C已降到其最低点．
设C的质量为m_C，与初始状态相比，C下降x₁+x₂，A上升x₁+x₂．弹簧弹性势能不变．由机械能守恒定律可知：
△E_k=m_Cg（x₁+x₂）-mg（x₁+x₂）=0      ④
由④式得：m_C=m　　　　　　　　　 　⑤
（2）B刚要离开地面时，A受力如图甲所示．
kx₂+mg-F_T=ma                        ⑥
物体C受力如图乙所示
F_T-mg=ma                         ⑦
由⑥和⑦式得F_T=$\frac{3}{2}mg$
（3）C换成D后，当B刚离地时弹簧弹性势能与初始状态相同，设此时A、D速度为v，由机械能守恒定律得
$\frac{1}{2}$×3mv²+$\frac{1}{2}$mv²=3mg（x₁+x₂）-mg（x₁+x₂）       ⑧
由③和⑧式得v=$g\sqrt{\frac{2m}{k}}$
答：（1）物体C的质量m；
（2）当B刚要离开地面时，AC间的轻绳的拉力是$\frac{3}{2}mg$；
（3）若将C换成质量为3m的物体D，仍从前述初始位置由静止状态释放，则这次B刚离地时D的速度的大小是$g\sqrt{\frac{2m}{k}}$．

点评 本题关键分析清楚物体的运动规律，然后根据平衡条件和机械能守恒定律以及胡克定律列式后联立求解即可．