Question

17．2016年2月11日，美国“激光干涉引力波天文台”（LIGO）团队向全世界宣布发现了引力波，这个引力波来自于距离地球13亿光年之外一个双黑洞系统的合并．已知光在真空中传播的速度为c，太阳的质量为M₀，万有引力常量为G．
黑洞密度极大，质量极大，半径很小，以最快速度传播的光都不能逃离它的引力，因此我们无法通过光学观测直接确定黑洞的存在．假定黑洞为一个质量分布均匀的球形天体．
（1）因为黑洞对其他天体具有强大的引力影响，我们可以通过其他天体的运动来推测黑洞的存在．天文学家观测到，有一质量很小的恒星独自在宇宙中做周期为T，半径为r₀的匀速圆周运动．由此推测，圆周轨道的中心可能有个黑洞．利用所学知识求此黑洞的质量M；
（2）严格解决黑洞问题需要利用广义相对论的知识，但早在相对论提出之前就有人利用牛顿力学体系预言过黑洞的存在．我们知道，在牛顿体系中，当两个质量分别为m₁、m₂的质点相距为r时也会具有势能，称之为引力势能，其大小为E_p=-G$\frac{{m}_{1}{m}_{2}}{r}$（规定无穷远处势能为零）．请你利用所学知识，推测质量为M′的黑洞，之所以能够成为“黑”洞，其半径R最大不能超过多少？

Answer 1

分析 （1）、根据万有引力提供向心力，结合轨道半径和周期求出黑洞的质量M．
（2）、抓住临界状态，即黑洞第二宇宙速度等于光速，物体脱离黑洞时速度恰好为0，结合能量守恒定律求出半径R的最大值

解答 解：（1）小恒星绕黑洞做匀速圆周运动，设小恒星质量为m，根据万有引力定律和牛顿第二定律：
$G\frac{Mm}{{r}_{0}^{2}}=m（\frac{2π}{T}）^{2}{r}_{0}$
解得：M=$\frac{4{π}^{2}{r}_{0}^{3}}{G{T}^{2}}$
（2）设质量为m的物体，从黑洞表面至无穷远处，根据能量守恒定律：
$\frac{1}{2}m{v}^{2}+（-G\frac{M′m}{R}）=0$
解得R=$\frac{2GM′}{{v}^{2}}$因为连光都不能逃离，有v=c
所以黑洞的半径最大不能超过：R=$\frac{2GM′}{{C}^{2}}$．
答：（1）此黑洞的质量M为$\frac{4{π}^{2}{r}_{0}^{3}}{G{T}^{2}}$．
（2）半径R最大不能超过$\frac{2GM′}{{C}^{2}}$．

点评 该题结合黑洞的物理现象考查万有引力定律的应用，并能够与爱因斯坦质能方程相结合，有较好的创新型，是一道理论联系实际的好题．