Question

3．如图所示，在平面直角坐标系xOy中的第Ⅰ象限内存在以两坐标轴为边界、沿x轴负方向的匀强电场；在第Ⅱ象限内存在磁感应强度大小为B、方向垂直于坐标平面向里的有界圆形匀强磁场区域（图中未画出）．一质子从坐标为（l，0）的M点以速度v₀垂直x轴进入第Ⅰ象限，恰好能通过y轴上坐标为（0，2l）的N点进入第Ⅱ象限，质子在第Ⅱ象限内通过磁场后速度方向恰好与射线OP垂直，已知质子的质量为m_H，电荷量为e，不计质子的重力，射线OP在第Ⅱ象限内与x轴负方向成30°角．求：
（1）匀强电场的电场强度E的大小．
（2）电子离开第Ⅰ象限时的速度方向与y轴正方向的夹角θ．
（3）该圆形磁场区域的最小面积．

Answer 1

分析 （1）质子在电场中做类似平抛运动，x方向匀速，y方向匀加速，根据运动学公式列式求解；
（2）先根据运动学公式列式求解出x、y方向的分速度，然后根据几何关系列式求解；
（3）先根据洛伦兹力提供向心力求解出轨迹的半径，然后求得磁场的最小半径，再求出最小面积．

解答 解：（1）质子刚进入第Ⅰ象限运动时，受到水平向左的电场力，
具有竖直向上的初速度，故质子做类平抛运动，有：
水平方向：eE=m_Ha，l=$\frac{1}{2}$at²，
竖直方向：2l=v₀t，
解得：E=$\frac{m{v}_{0}^{2}}{2el}$．
（2）设质子到达N点的速度大小为v_N，方向与y轴正方向的夹角为θ，
质子做类平抛运动，有：
水平方向：l=$\frac{{v}_{x}}{2}$t，
竖直方向：2l=v₀t，
根据几何关系有：tanθ=$\frac{{v}_{x}}{{v}_{0}}$，
解得：v_x=v₀，tanθ=1，θ=45°．　 
（3）质子在第Ⅱ象限内的轨迹如图所示：

质子到达N点时的速度：v_N=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{x}^{2}}$=$\sqrt{2}$v₀，
当质子在磁场中做匀速圆周运动时，由牛顿第二定律有：ev_NB=m_H$\frac{{v}_{N}^{2}}{r}$，
由几何关系可知，质子在磁场中偏转105°后垂直于OP射出，
四边形O₁N'AQ为正方形，则以QN连线为直径的圆对应的面积就是圆形磁场区域的最小面积，
磁场区域的最小半径：R=rsin$\frac{105°}{2}$，
故磁场的最小面积为S=πR²，
解得：S=$\frac{2π{m}_{H}^{2}{v}_{0}^{2}（sin52.5°）^{2}}{{e}^{2}{B}^{2}}$．
答：（1）匀强电场的电场强度E的大小为$\frac{m{v}_{0}^{2}}{2el}$．
（2）电子离开第Ⅰ象限时的速度方向与y轴正方向的夹角θ为45°．
（3）该圆形磁场区域的最小面积为$\frac{2π{m}_{H}^{2}{v}_{0}^{2}（sin52.5°）^{2}}{{e}^{2}{B}^{2}}$．

点评 本题中粒子先在电场中做类似平抛运动，然后进入磁场做匀速圆周运动，要注意两个轨迹的连接点，然后根据运动学公式和牛顿第二定律以及几何关系列式求解，其中画出轨迹是关键．