Question

8．如图甲，MN、PQ两条平行的光滑金属轨道与水平面成θ=37°角固定，M、P之间接电阻箱R，导轨所在空间存在匀强磁场，磁场方向垂直于轨道平面向上，磁感应强度为B=0.5T．质量为m的金属杆a b水平放置在轨道上，其接入电路的电阻值为r．现从静止释放杆a b，测得最大速度为v_m．改变电阻箱的阻值R，得到v_m与R的关系如图乙所示．已知轨距为L=2m，重力加速度g取l0m/s²，轨道足够长且电阻不计．求：

（1）杆a b下滑过程中感应电流的方向及R=0时最大感应电动势E的大小；
（2）金属杆的质量m和阻值r；
（3）当R=4Ω时，求回路瞬时电功率每增加1W的过程中合外力对杆做的功W．

Answer 1

分析 （1）由图读出R=0时杆ab的最大速度，由E=BLv求解感生电动势E的大小，由右手定则判断出杆中的电流方向；
（2）根据 E=BLv、I=$\frac{E}{R+r}$、F=BIL推导出安培力的表达式，当杆匀速运动时速度最大，由平衡条件得到最大速度v_m与R的关系式，根据图象的斜率和纵截距求解金属杆的质量m和阻值r；
（3）由E=BLv和P=$\frac{{E}^{2}}{R+r}$得到瞬时电功率增大量△P，根据动能定理求出合外力对杆做的功W．

解答 解：（1）由右手定则可知，杆中电流方向从b→a （或aMPba），
由图示图象可知，当R=0 时，杆最终以v=2m/s匀速运动，
产生电动势：E=BLv=0.5×2×2=2V；
（2）设最大速度为v，杆切割磁感线产生的感应电动势 E=BLv，
由闭合电路的欧姆定律：I=$\frac{E}{R+r}$，
杆达到最大速度时满足：mgsinθ-BIL=0，
解得：v=$\frac{mgsinθ}{{B}^{2}{L}^{2}}$R+$\frac{mgsinθ}{{B}^{2}{L}^{2}}$r．
由图象可知：斜率为k=$\frac{4-2}{2}$=1m/（s•Ω），
纵截距为v₀=2m/s，得到：$\frac{mgsinθ}{{B}^{2}{L}^{2}}$r=v₀，$\frac{mgsinθ}{{B}^{2}{L}^{2}}$=k，
解得：m=$\frac{1}{6}$kg≈0.17kg，r=2Ω．
（3）感应电动势：E=BLv，
功率：P=$\frac{{E}^{2}}{R+r}$=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}^{2}}{R+r}$，△P=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{2}^{2}}{R+r}$-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{1}^{2}}{R+r}$，
由动能定理得：W=$\frac{1}{2}$mv₂²-$\frac{1}{2}$mv₁²，W=$\frac{m（R+r）}{2{B}^{2}{L}^{2}}$△P，
代入数据解得：W=0.5J．
答：（1）杆ab下滑过程中感应电流的方向：由b流向a，R=0时最大感应电动势E的大小为2V；
（2）金属杆的质量m为0.17kg，阻值r为2欧姆；
（3）当R=4Ω时，回路瞬时电功率每增加1W的过程中合外力对杆做的功W为0.5J．

点评 本题综合考查了法拉第电磁感应定律、闭合电路欧姆定律、牛顿第二定律等，综合性强，对学生能力的要求较高，其中安培力的分析和计算是关键．