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14.如图所示,位于竖直平面内的粗糙斜轨道AB与光滑水平轨道BC及竖直光滑半圆形轨道CD平滑连接,半圆轨道的直径DC垂直于BC,斜轨道的倾角θ=37°,圆形轨道的半径为R.一质量为m的小滑块(可看作质点)从高为H的斜轨道上的P点由静止开始下滑,然后从直轨道进入圆形轨道运动,运动到圆形轨道的最高点D时对轨道的压力大小恰与重力相等,小滑块过最高点D后做平抛运动,恰好垂直撞击在斜轨道的Q点.已知sin37°=0.6,cos37°=0.8,重力加速度为g,求:
(1)滑块运动到圆形轨道最高点时的速度大小.
(2)滑块与斜轨道间的动摩擦因数μ.
(3)水平轨道BC的长度.

分析 (1)D点由向心力公式可得速度大小.
 (2)由动能定理可求得摩擦力做功,其中摩擦力做功含有摩擦因数.
 (3)由平抛运动可得水平向与竖直向的位移,结合图中的几何关系可求得距离.

解答 解:(1)在D点:2mg=$m\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$ 则${v}_{D}=\sqrt{2gR}$
 (2)由P到D,由动能定理:$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}=mg(H-2R)-μmgcosθ$ xAB   
而${x}_{AB}=\frac{H}{sinθ}$   解得:$μ=\frac{3(H-3R)}{4H}$
(3)在Q点的水平速度vQ平=vD=$\sqrt{2gR}$
    由垂直撞击可知滑块运动到Q时的竖直分速度为:${v}_{Qy}=\frac{4{v}_{Q平}}{3}=\frac{4\sqrt{2gR}}{3}$
   由此可得平抛运动的时间为:t=$\frac{{v}_{Qy}}{g}$=$\frac{4}{3}\sqrt{\frac{2R}{g}}$
   平抛运动的水平位移为:${x}_{QF}={v}_{D}t=\frac{8}{3}R$
   平抛运动的竖直分位移为:yDF=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$=$\frac{16R}{9}$
   Q点的高度:hQE=2R-yDF=$\frac{2R}{9}$
   则水平轨道BC的长度:L=${x}_{QF}-\frac{{h}_{QE}}{tan37°}$=$\frac{64}{27}R$
答:(1)滑块运动到圆形轨道最高点时的速度大小为$\sqrt{2gR}$.
(2)滑块与斜轨道间的动摩擦因数为$\frac{3(H-3R)}{4H}$.
(3)水平轨道BC的长度为$\frac{64}{27}R$

点评 本题考查动能定理及竖直面内的圆周运动,选择合适的过程,并注意竖直面内圆周运动的临界条件即可求解

练习册系列答案
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