Question

2．如图所示，在光滑的水平桌面上，一根长0.1m的细线，一端系有一个质量为0.16kg的小球，拉住线的另一端，使在桌面上球做匀速圆周运动，使小球的转速很缓慢地增加，当小球的转速增加到开始时转速的2倍时，细线断开，线断开前的瞬间线受到的拉力比开始时大30N．求：（g=l0m/s²）
（1）线断开前的瞬间，线受到的拉力大小；
（2）线断开的瞬间，小球运动的线速度；
（3）如果小球沿与桌边线成某一锐角飞出后，其落地点距桌边线的水平距离为1m，桌面高出地面0.8m，则小球离开桌面时，速度方向与桌边线的夹角为多少？

Answer 1

分析 （1）线断开前，由线的拉力提供向心力，由题意：小球的转速增加到开始时转速的2倍时细线断开，根据向心力公式可得到线断开时线的拉力与原来拉力的倍数，结合条件：线断开前的瞬间线的拉力比开始时大30N，即可求出线断开前的瞬间，线的拉力大小．
（2）由向心力公式F=m$\frac{{v}^{2}}{R}$求出小球的速度大小．
（3）小球离开桌面后做平抛运动，由高度求出时间，并求出平抛运动的垂直桌边线的速度，根据几何关系求解夹角即可．

解答 解：（1）线的拉力等于向心力，设开始时角速度为ω₀，向心力是F₀，线断开的瞬间，角速度为ω，线的拉力是F．
则有：${F}_{0}=m{{ω}_{0}}^{2}R$…①
F=mω²R…②
由①②得：$\frac{F}{{F}_{0}}=\frac{4}{1}$…③
又因为F=F₀+30N…④
由③④得：F=40N
（2）设线断开时速度为v
由F=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，
得：v=$\sqrt{\frac{FR}{m}}$=5m/s
（3）设桌面高度为h，小球落地经历时间为t．
根据h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$得：t=$\sqrt{\frac{2h}{g}}=0.4s$，
抛出后垂直桌边线的速度为${v}_{0}=\frac{x}{t}=\frac{1}{0.4}=2.5m/s$，
设小球离开桌面时，速度方向与桌边线的夹角为θ，
则$sinθ=\frac{{v}_{0}}{v}=\frac{1}{2}$，则θ=30°．
答：（1）线断开前的瞬间，线受到的拉力大小为40N；
（2）线断开的瞬间，小球运动的线速度为5m/s；
（3）小球离开桌面时，速度方向与桌边线的夹角为30°．

点评 对于匀速圆周运动，基本方程是“指向圆心的合力”等于向心力，即F_合=F_n，关键分析向心力的来源，知道小球离开桌面后做平抛运动，难度适中．