Question

（25分）地球赤道表面附近处的重力加速度为，磁场的磁感应强度的大小，方向沿经线向北。赤道上空的磁感应强度的大小与成反比（r为考察点到地心的距离），方向与赤道附近的磁场方向平行。假设在赤道上空离地心的距离（为地球半径）处，存在厚度为10km的由等数量的质子和电子的等离子层（层内磁场可视为匀强磁场），每种粒子的数密度非常低，带电粒子的相互作用可以忽略不计。已知电子的质量，质子的质量，电子电荷量为，地球的半径。

　　1.所考察的等离子层中的电子和质子一方面作无规则运动，另一方面因受地球引力和磁场的共同作用会形成位于赤道平面内的绕地心的环行电流，试求此环行电流的电流密度。

　　2.现设想等离子层中所有电子和质子，它们初速度的方向都指向地心，电子初速度的大小，质子初速度的大小。试通过计算说明这些电子和质子都不可能到到达地球表面。

　　

Answer 1

参考解答：

解法一：

1.由于等离子层的厚度远小于地球的半径，故在所考察的等离子区域内的引力场和磁场都可视为匀强场.在该区域内磁场的磁感应强度

                                                 （1）

引力加速度

       （2）

考察等离子层中的某一质量为m、电荷量为q、初速度为u的粒子，取粒子所在处为坐标原点O，作一直角坐标系Oxyz，Ox轴指向地球中心，Oz沿磁场方向，如图1所示.该粒子的初速度在坐标系中的三个分量分别为u_x、u_y和u_z.因作用于粒子的引力沿x轴正方向，作用于粒子的洛伦兹力与z轴垂直，故粒子在z轴方向不受力作用，沿z轴的分速度保持不变. 现设想在开始时刻，附加给粒子一沿y轴正方向大小为v₀的速度，同时附加给粒子一沿y轴负方向大小为v₀的速度，要求与其中一个v₀相联系的洛伦兹力正好与粒子所受的地球引力相平衡，即

                                                         

得

                                                                                 （3）

用v表示u_x与沿y轴的速度的合速度（对质子取正号，对电子取负号），有

                                                                     （4）

这样，所考察的粒子的速度可分为三部分：

沿z轴的分速度．其大小和方向都保持不变，但对不同的粒子是不同的，属于等离子层中粒子的无规则运动的速度分量．

沿y轴的速度．对带正电的粒子，速度的方向沿y轴的负方向，对带负电的粒子，速度的方向沿y轴的正方向．与这速度联系的洛伦兹力正好和引力抵消，故粒子将以速率沿y轴运动．由（3）式可知，的大小是恒定的，与粒子的初速度无关，且对同种的粒子相同．

在平面内的速度．与这速度联系的洛伦兹力使粒子在平面内作速率为的匀速率圆周运动，若以R表示圆周的半径，则有

       

得

               （5）

由（4）、（5）式可知，轨道半径不仅与粒子的质量有关，而且与粒子的初速度的x分量和y分量有关．圆周运动的速度方向是随时间变化的，在圆周运动的一个周期内的平均速度等于0．

由此可见，等离子层内电子和质子的运动虽然相当复杂，但每个粒子都具有由（3）式给出的速度，其方向垂直于粒子所在处的地球引力方向，对电子，方向向西，对质子，方向向东．电子、质子这种运动称为漂移运动，对应的速度称为漂移速度．漂移运动是粒子的定向运动，电子、质子的定向运动就形成了环绕地球中心的环形电流．

由（3）式和（1）、（2）两式以及有关数据可得电子和质子的漂移速度分别为

                                                                 （6）

                                                                        （7）

由于电子、质子漂移速度的方向相反，电荷异号，它们产生的电流方向相同，均为沿纬度向东.根据电流密度的定义有

                                              （8）

代入有关数据得

                                                 （9）

电流密度的方向沿纬度向东.

2．上一小题的讨论表明，粒子在平面内作圆周运动，运动的速率由（4）式给出，它与粒子的初速度有关．对初速度方向指向地心的粒子，圆周运动的速率为

               （10）

由（1）、（2）、（3）、（5）、（10）各式并代入题给的有关数据可得电子、质子的轨道半径分别为

                  （11）

                                                  （12）

以上的计算表明，虽然粒子具有沿引力方向的初速度，但由于粒子还受到磁场的作用，电子和质子在地球半径方向的最大下降距离分别为和，都远小于等离子层的厚度，所考察的电子和质子仍在等离子层内运动，不会落到地面上.

解法二：.

1.由于等离子层的厚度远小于地球半径，故在所考察等离子区域内的引力场和磁场都可视为匀强场.在该区域内磁场的磁感应强度

                                                 （1）

引力加速度

                                                  （2）

考察等离子层中的某一质量为m，电荷量为q、初速度为u的粒子，取粒子所在处为坐标原点O，作一直角坐标系Oxyz，Ox轴指向地球中心，Oz沿磁场方向，如图1所示.该粒子的初速度在坐标系中的三个分量分别为u_x、u_y和u_z. 若以、、表示粒子在任意时刻t的速度在x方向、y方向和z方向的分速度，则带电粒子在引力和洛伦兹力的共同作用下的运动方程为

                                                （3）

                         （4）

                                               （5）

（5）式表明，所考察粒子的速度在z轴上的分量保持不变，即

                                                            （6）

作变量代换，令

       　　　　                                  （7）

 其中

                     （8）

把（7）、（8）式代入（3）、（4）式得

                        　　　　　　         （9）

                  　   　                            （10）

由（9）、(10) 两式可知，作用于粒子的力在x和y方向的分量分别为

       

       

若用表示的方向与x轴的夹角，表示的方向与x轴的夹角，而，则有

       

       

可见，表明的方向与的方向垂直，粒子将在的作用下在平面内作速率为的匀速圆周运动．若以R表示圆周的半径，则有

       

               （11）

在匀速圆周运动中，V的大小是不变的，任何时刻V的值也就是时刻V的值，由（7）式和已知条件在时刻有

       

故有

               （12）

以上讨论表明，粒子的运动可分成三部分：

根据（6）式，可知粒子沿z轴的分速度大小和方向都保持不变，但对不同的粒子是不同的，属于等离子层中粒子的无规则运动的速度分量．

根据（7）式可得，，表明粒子在平面内以速率作圆周运动的同时，又以速度沿y轴运动．、是圆周运动速度的x分量和y分量．圆周运动的轨道半径不仅与粒子的质量有关，而且与粒子的初速度的x分量和y分量有关．圆周运动的速度方向是随时间变化的，在圆周运动的一个周期内的平均速度等于0．

沿y轴的速度由（8）式给出，其大小是恒定的，与粒子的初速度无关，同种粒子相同，但对带正电的粒子，其方向沿y轴的负方向，对带负电的粒子，其方向沿y轴的正方向． 

由此可见，等离子层内电子和质子虽然相当复杂，但每个粒子都具有由（8）式给出的速度，其方向垂直于粒子所在处的地球引力，对电子，方向向西，对质子，方向向东．电子、质子这种运动称为漂移运动，对应的速度称为漂移速度．漂移运动是粒子的定向运动，电子、质子的定向运动就形成了环绕地球中心的环形电流．

由（8）式和（1）、（2）两式以及有关数据可得电子和质子的漂移速度分别为

                                                                        （13）

                                                      （14）

由于电子、质子漂移速度的方相反，电荷异号，它们产生的电流方向相同，均为沿纬度向东.根据电流密度的定义有

                                                                            （15）

代入有关数据得

                                                                        （16）

电流密度的方向沿纬度向东.

2．上一小题的讨论表明，粒子在平面内作圆周运动，运动的速率由（12）式给出，它与粒子的初速度有关．对初速度方向指向地心的粒子，圆周运动的速率为

               （17）

因题给出的电子与质子的初速度是不同的，电子、质子的质量又是不同的，故电子、质子在平面内作圆周运动的半径也是不同的．由（1）、（2）、（8）、（11）、（12）各式并代入有关数据可得电子、质子的轨道半径分别为

                                               （18）

                                                                               （19）

以上的计算表明，虽然粒子具有沿引力方向的初速度，但由于粒子还受到磁场的作用，电子和质子在地球半径方向的最大下降距离分别为和，都远小于电离层的厚度，所考察的电子和质子仍在等离子层内运动，不会落到地面上.