Question

9．如图所示，将一劲度系数为k的轻弹簧一端固定在内壁光滑、半径为R的半球形容器底部O′处（O为球心），弹簧另一端与质量为m的小球A相连，小球静止于P点，OP与水平方向间的夹角为θ=30°．若换为与质量为2m的小球B相连，小球静止于M点（图中未画出），下列说法正确的是（　　）

• A． 容器对小球B的作用力大小为2mg
• B． 弹簧对小球A的作用力大于对小球B的作用力
• C． 弹簧原长为R+$\frac{mg}{k}$
• D． OM的长度为$\frac{{mgR+k{R^2}}}{2mg+kR}$

Answer 1

分析 球A压缩弹簧时，球A受重力、支持力和弹簧的弹力，根据平衡条件列式求解弹簧弹力和支持力，根据胡克定律列式求解弹簧的原长；

解答 解：C、对质量为m的小球，受重力、支持力和弹簧的弹力而平衡，如图所示：

根据平衡条件，有：F=N=mg；
故弹簧的原长为：l=R+$\frac{F}{k}$=R+$\frac{mg}{k}$；故C正确；
ABD、当改为质量为2m的球后，球与弹簧间的弹力变大，设OP与水平方向的夹角为α，则：

其中N′与水平方向的夹角为α，F′与竖直方向的夹角为β=45°+$\frac{α}{2}$；
根据平衡条件，水平方向：N′sinα+F′cos（45°+$\frac{α}{2}$），
竖直方向：N′sinα+F′sin（45°+$\frac{α}{2}$）=2mg，
根据胡克定律，有：F′=k[l-2Rsin（45°-$\frac{α}{2}$）]=k[R+$\frac{mg}{k}$-2Rsin（45°-$\frac{α}{2}$）]
联立解得：2Rsin（45°-$\frac{α}{2}$）=$\frac{mgR+k{R}^{2}}{2mg+kR}$，N′=2mg，
故A正确，B错误，D正确；
故选：ACD

点评 本题是力平衡问题，关键是受力分析后根据平衡条件列式求解．
三力平衡的基本解题方法：①力的合成、分解法：即分析物体的受力，把某两个力进行合成，将三力转化为二力，构成一对平衡力，二是把重力按实际效果进行分解，将三力转化为四力，构成两对平衡力．②相似三角形法：利用矢量三角形与几何三角形相似的关系，建立方程求解力的方法．应用这种方法，往往能收到简捷的效果．