Question

13．小球在流体中运动时，它将受到流体阻碍运动的粘滞阻力．实验发现当小球相对流体的速度不太大时，粘滞阻力F=6πηvr，式中r为小球的半径，v为小球相对流体运动的速度，η为粘滞系数，由液体的种类和温度而定，现将一个半径r=1.00mm的钢球，放入常温下的甘油中，让它下落，已知钢球的密度ρ=8.5×10³ kg/m³，常温下甘油的密度ρ₀=1.3×10³ kg/m³，甘油的粘滞系数η=0.80（g取10m/s²）．
（1）钢球从静止释放后，在甘油中做什么性质的运动？
（2）当钢球的加速度a=g/2时，它的速度多大？
（3）钢球在甘油中下落的最大速度v_m是多少？

Answer 1

分析 （1）钢球从静止释放后，受到重力和黏滞阻力，由题分析阻力随速度的变化，判断合力的变化情况，从而分析出其运动性质．
（2）根据牛顿第二定律求出小球加速度为$\frac{g}{2}$时的黏滞阻力，再根据黏滞阻力求出小球的速度．
（3）最终钢球做匀速运动，速度最大，由已知条件和平衡条件列式求解．

解答 解：（1）钢球从静止释放后，受到向下的重力和向上的黏滞阻力和浮力，由题F=6πηvr，可知阻力随速度的增大而增大，则钢球的合力减小，加速度减小，钢球做加速度减小的变加速运动．当阻力、浮力与重力平衡条件时做匀速直线运动．
（2）小球受重力、阻力、浮力作用下做加速运动，根据牛顿第二定律有：mg-F_浮-F₁=ma
由题意有：$m=ρ\frac{4}{3}π{r^3}$，${F_浮}={ρ_0}\frac{4}{3}π{r^3}g$，F₁=6πηvr
代入有：$ρ\frac{4}{3}π{r^3}g-{ρ_0}\frac{4}{3}π{r^3}g-6πηvr=m\frac{g}{2}$
解得：$v=\frac{{（\frac{1}{2}ρ-{ρ_0}）\frac{4}{3}π{r^3}g}}{6πηr}=\frac{{2.95×1{0^3}×\frac{4}{3}×π×（1×1{0^{-3}}{）^3}×10}}{{6π×0.80×1×1{0^{-3}}}}m/s=2.46×1{0^{-2}}m/s$
（3）最终钢球做匀速运动，速度最大，由平衡条件得：
mg=F+F_浮；
即 $ρ•\frac{4}{3}π{r^3}g=6πη{v_m}r+{ρ_0}•\frac{4}{3}π{r^3}g$
解得：${v_m}=\frac{{2（ρ-{ρ_0}）{r^2}g}}{9η}=\frac{{2×（8.5×1{0^3}-1.3×1{0^3}）×（1{0^{-3}}{）^2}×10}}{9×0.80}m/s=0.02m/s$
答：：（1）钢珠从静止释放后，在甘油中先做加速度减小的加速运动，最后做匀速运动；
（2）当钢珠的加速度a=$\frac{g}{2}$时，它的速度为2.46×10^-2m/s；
（3）钢球在甘油中下落的最大速度v_m是0.02m/s．

点评 本题是信息题，要在读懂题意的基础上，运用动力学方法分析钢球的运动情况，运用共点力平衡进行求解．