Question

18．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，第Ⅰ象限存在沿y轴负方向的匀强电场，电场强度未知，第Ⅳ象限存在垂直于坐标平面向外的匀强磁场，磁感应强度为B．一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子从y轴正半轴上的M点以速度v₀垂直于y轴射入电场，经x轴上的N点与x轴正方向成θ=60°角射入磁场，最后恰好能从y轴负半轴上的某点P射出磁场（P点图中未知），不计粒子重力，求
（1）粒子在磁场中运动的轨道半径r；
（2）粒子从M点运动到P点的总时间t；
（3）电场强度的大小．

Answer 1

分析 （1）求出粒子进入磁场时的速度，粒子在磁场中做匀速圆周运动洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律可以求出粒子的轨道半径．
（2）求出粒子在电场与磁场中的运动时间，然后求出粒子总的运动时间．
（3）粒子在电场中做类平抛运动，在竖直方向做初速度为零的匀加速直线运动，应用匀变速直线运动的速度公式与牛顿第二定律可以求出电场强度．

解答 解：（1）粒子经过N点时的速度：v=$\frac{{v}_{0}}{cos60°}$=2v₀，
粒子在磁场中做匀速圆周运动洛伦兹力提供向心力，
由牛顿第二定律得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，解得：r=$\frac{2m{v}_{0}}{qB}$；
（2）粒子恰好能从y轴负半轴上的某点P射出磁场，
则粒子运动轨迹与y轴相切，粒子运动轨迹如图所示，
由几何知识得：ON=r+rsinθ，
粒子在电场中做类平抛运动：ON=v₀t₁，解得：t₁=$\frac{（2+\sqrt{3}）m}{qB}$，
粒子在磁场中做圆周运动转过的圆心角：α=360°-60°-90°=210°，
粒子在磁场中做圆周运动的周期：T=$\frac{2πm}{qB}$，
粒子在磁场中的运动时间：t₂=$\frac{α}{360°}$T=$\frac{7πm}{6qB}$，
粒子从M点运动到P点的总时间：t=t₁+t₂=（2+$\sqrt{3}$+$\frac{7π}{6}$）$\frac{m}{qB}$；
（3）粒子在电场中做类平抛运动，
竖直分速度：v_y=v₀tan60°=$\frac{qE}{m}$t₁，解得：E=（2$\sqrt{3}$-3）v₀B；
答：（1）粒子在磁场中运动的轨道半径r为$\frac{2m{v}_{0}}{qB}$；
（2）粒子从M点运动到P点的总时间t为（2+$\sqrt{3}$+$\frac{7π}{6}$）$\frac{m}{qB}$；
（3）电场强度的大小为（2$\sqrt{3}$-3）v₀B．

点评 粒子在电场中运动偏转时，常用能量的观点来解决问题，有时也要运用运动的合成与分解．粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心、半径及运动时间的确定也是本题的一个考查重点，要正确画出粒子运动的轨迹图，能熟练的运用几何知识解决物理问题．