Question

如图所示，半径为2R的圆弧轨道AB和半径为R的圆弧轨道BC相切于B点，两轨道置于竖直平面内，在C点的正上方有一厚度不计的旋转平台，沿平台的一条直径上开有两个小孔P、Q，两孔离轴心等距离，旋转时两孔均能到达C点正上方，平台离C点的高度为R，质量为2m的小球1自A点由静止开始下落，在B点与质量为m的2球作弹性碰撞，碰后2球过C点，且恰能无碰撞穿过小孔P.

（1）两球第一次碰撞后2球的速度大小

（2）欲使2球能从小孔Q落下，则平台的角速度w 应满足什么条件？（不计所有阻力）

Answer 1

（1）设小球1在B点速度大小为则满足：

2mg.2R=2mv₀²-0……….(1分)      得v₀＝＝2……….（1分）

两球碰撞过程满足动量守恒和能量守恒,设两球碰后速度大小为v₂和v₃，则：

2m v₀＝2 m v₁＋m v₂……….(1分)

且2m v₀²＝2 m v₁²＋m v₂²……..(1分)

所以v₂＝4 v₀／3＝8／3  ………..(1分)

（2）对碰后B球上升至P的过程，由能量守恒：ks5u

m v₂²＝m v_P²+2mgR...................(1分)       v_P＝………………(1分)

而小球做竖直上抛的时间满足：t＝2v_P／g＝……….(1分)

又因为t＝（2k＋1）p／w       （k＝0，1，2，3¼）…………………….(2分)

所以角速度w＝（2k＋1）p／t＝（2k＋1）p，（k＝0，1，2，3¼）…….(1分)

（3）要使2球在第二次碰撞后能到达BC弧的中点，设碰后2球的速度大小为，则由能量守恒得

     得……………..(1分)

（i）若两球在B点第二次碰前速度都向左，设向左为正方向，则碰后2球速度方向可能向左，也可能向右。由动量守恒定律：

……………..(1分)

得                  或  

因为碰前系统能量为  而两者碰后的能量不能超过碰前能量，代入数据可知，

只有    符合条件。……………..(2分)

（ii）若碰前1球速度向右，而2球速度向左，同样设向左为正方向，由动量守恒定律可知：

 ……………..(1分)

代入数据可得  （因为碰后2球与1球速度同向，2球速度大于1球速度，故此解不符合题意，舍去。）……………..(1分)

 或      

 经检验，碰后两者能量之和为，小于，故此解符合题意。……………..(1分)

综上所述，碰后两者速度可能为

    ks5u