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    16．如图所示，在竖直平面内固定有两个很靠近的同心圆形轨道，外圆ABCD的光滑，内圆A′B′C′D′的上半部分B′C′D′粗糙，下半部分B′A′D′光滑，一质量m=2kg的小球从轨道的最低点A，以初速度v0向右运动，球的尺寸略小于两圆间距，球运动的半径R=0.2m，取g=10m/s2．
    （1）若要使小球始终紧贴外圆做完整的圆周运动，初速度v0至少为多少？
    （2）若v0=4m/s，经过一段时间小球到达最高点，内轨道对小球的支持力N=10N，则小球在这段时间内克服摩擦力做的功是多少？
    （3）若v0=4m/s，经过足够长的时间后，小球在整个运动过程中减少的机械能是多少？

    分析 （1）紧贴外圆做圆周运动，在最高点的临界情况是重力提供向心力，根据牛顿第二定律求最高点的速度，由于小球不受摩擦力，由机械能守恒定律求出初速度的最小值．
    （2）根据牛顿第二定律求出最高点的速度大小，根据动能定理求出克服摩擦力做功的大小．
    （3）经足够长时间后，小球在下半圆轨道内做往复运动，根据能量守恒求出损失的机械能．

    解答 解：（1）设小球到达最高点的最小速度为vC，则有：
    mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
    由机械能守恒定律得：
    $\frac{1}{2}$mv02=$\frac{1}{2}$mvc2+2mgR
    代入数据解得：v0=$\sqrt{5gR}$=$\sqrt{10}$m/s=3.16m/s．
    （2）设此时小球到达最高点的速度为vc′，克服摩擦力做的功为W，则在最高点C，有：
    mg-N=m$\frac{{v}_{C}^{′2}}{R}$
    由动能定理得：-2mgR+W=$\frac{1}{2}$mvc′2-$\frac{1}{2}$mv02；
    代入数据解得：W=-7J．即克服摩擦力做的功是7J．
    （3）经足够长时间后，小球在下半圆轨道BD内做往复运动，小球经过B或D点的速度为vB=0．
    则小球在整个运动过程中减少的机械能为：
    △E=$\frac{1}{2}$mv02-mgR=16-4=12J
    答：（1）要使小球始终紧贴外圆做完整的圆周运动，初速度v0至少为3.16m/s．
    （2）小球在这段时间内克服摩擦力做的功是7J．
    （3）小球在整个运动过程中减少的机械能是12J．

    点评 本题综合考查了动能定理、牛顿第二定律和机械能守恒定律，综合性较强，关键是理清运动过程，抓住临界状态，运用合适的规律进行求解．

    练习册系列答案
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    C．打出的纸带中，只要点迹清晰，就可用公式mg△h=$\frac{1}{2}$mv2来验证机械能是否守恒
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    B．运动员下落过程中，重力势能不断增大
    C．运动员在A点重力势能是C点重力势能的4倍
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