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(1)抛出点与A点的高度差;
(2)要使小物块不离开轨道,并从水平轨道DE滑出,求竖直圆弧轨道的半径应该满足什么条件;
(3)为了让小物块不离开轨道,并且能够滑回倾斜轨道AB,则竖直圆轨道的半径应该满足什么条件?并求出滑块在AB上运动的总路程.

分析 (1)从抛出点到A点做平抛运动,根据平抛运动的规律可解得落到A点时竖直方向的速度vy与h的关系,根据竖直方向速度vy与水平方向速度vx的夹角之间的关系,可以解得h.
(2)现根据第一问中求得到达A的速度,从A到环的最高点运用动能定理列方程,再根据到达最高点的临界条件mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$知半径R′大小
(3)要使小物块不离开轨道并且能够滑回倾斜轨道AB,则小物体沿圆轨道上升的最大高度不能超过圆心,结合动能定理列式求解.

解答 解:(1)设从抛出点到A点的高度差为h,根据平抛运动的规律有:vy=v0tan37°=4×$\frac{3}{4}$=3m/s
h=$\frac{{v}_{y}^{2}}{2g}$=$\frac{{3}^{2}}{2×10}$=0.45m  
(2)小物体到达A点时的速度:vA=$\frac{{v}_{0}}{cos37°}$=5m/s
小物体从A到环最高点,由动能定理:mg(Lsin37°-2R′)-μmgcos37°L=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$-$\frac{1}{2}$mv${\;}_{A}^{2}$①
在最高点有:m$\frac{{v}^{2}}{R}$≥mg②
由①②解得 R′≤0.66m.
(3)要使小物块不离开轨道并且能够滑回倾斜轨道AB,则小物体沿圆轨道上升的最大高度不能超过圆心,
即:mg(Lsin37°-R″)-μmgcos37°L=0-$\frac{1}{2}$mv${\;}_{A}^{2}$
解得R′=$\frac{{v}_{A}^{2}}{2g}$+Lsin37°-μcos37°L=$\frac{{5}^{2}}{2×10}$+2×0.6-0.5×0.8×2=1.65m
为了让小物块不离开轨道,并且能够滑回倾斜轨道AB,竖直圆弧轨道的半径应该满足:R″≥1.65m 
小球多次往返于斜面和水平面圆周之间,最终速度趋于零,停在水平面上,整个过程由能量守恒(或用动能定理列方程)得
$\frac{1}{2}$mv${\;}_{A}^{2}$+mgLsin37°=μmgcos37°x
解得x=$\frac{{v}_{A}^{2}}{2μgcos37°}$$+\frac{Lsin37°}{μcos37°}$=$\frac{{5}^{2}}{2×0.5×10×0.8}$$+\frac{2×0.6}{0.5×0.8}$=6.125m  
答:(1)抛出点与A点的高度差0.45m;
(2)要使小物块不离开轨道,并从水平轨道DE滑出,求竖直圆弧轨道的半径应该满足 R′≤0.66m;
(3)为了让小物块不离开轨道,并且能够滑回倾斜轨道AB,则竖直圆轨道的半径应该满足R″≥1.65m,滑块在AB上运动的总路程6.125m.

点评 此题要求熟练掌握平抛运动、动能定理、机械能守恒定律、圆周运动等规律,包含知识点多,难度较大,属于难题.

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