Question

如图甲所示，两平行金属板的板长l＝0.20m，板间距d＝6.0×10^－2m，在金属板右侧有一范围足够大的方向垂直于纸面向里的匀强磁场，其边界为MN，与金属板垂直。金属板的下极板接地，上极板的电压u随时间变化的图线如图乙所示，匀强磁场的磁感应强度B＝1.0×10^－2T。现有带正电的粒子以v₀＝5.0×10⁵m/s的速度沿两板间的中线OO^' 连续进入电场，经电场后射入磁场。已知带电粒子的比荷＝10⁸C/kg，粒子的重力忽略不计，假设在粒子通过电场区域的极短时间内极板间的电压可以看作不变，不计粒子间的作用（计算中取）。


（1）求t＝0时刻进入的粒子，经边界MN射入磁场和射出磁场时两点间的距离；
（2）求t＝0.30s时刻进入的粒子，在磁场中运动的时间；
（3）试证明：在以上装置不变时，以v₀射入电场比荷相同的带电粒子，经边界MN射入磁场和射出磁场时两点间的距离都相等。
 

Answer 1

（1） 1.0m       （2）2.6×10^－6s                        
 
 
（3）证明：设带电粒子射入磁场时的速度为v，带电粒子在磁场中做圆周运动的半径为r

进入磁场时带电粒子速度的方向与初速度的方向的夹角为α
  
由几何关系可知，带电粒子在磁场中运动的圆弧所对的圆心角为φ＝π－2α，带电粒子在磁场中的圆滑所对的弦长为s，

从上式可知弦长s取决于磁感应强度、粒子的比荷及初速度，而与电场无关。

（1）（6分）t＝0时，u＝0，带电粒子在极板间不偏转，水平射入磁场，

  
s＝2r＝1.0m                         
（2）（8分）带电粒子在匀强电场中水平方向的速度
v₀＝5.0×10⁵m/s
竖直方向的速度为    
所以进入磁场时速度与初速度方向的夹角为α。如图所示：
 

解得    
由几何关系可知，带电粒子在磁场中运动的圆弧所对的圆心角为φ，即为，设带电粒子在磁场中运动的时间为t，所以    
（3）（6分）证明：设带电粒子射入磁场时的速度为v，带电粒子在磁场中做圆周运动的半径为r

进入磁场时带电粒子速度的方向与初速度的方向的夹角为α
  
由几何关系可知，带电粒子在磁场中运动的圆弧所对的圆心角为φ＝π－2α，带电粒子在磁场中的圆滑所对的弦长为s，

从上式可知弦长s取决于磁感应强度、粒子的比荷及初速度，而与电场无关。