Question

17．在竖直平面内有一半径为R的半圆形固定圆管轨道，管内径远小于R，其最低点A和水平面相切，一质量为m可视为质点的小球从最低点以$\sqrt{6gR}$速度冲上轨道，到达最高点B时和轨道之间的作用力的大小为0.5mg．求：
（1）物块到达最高点B时速度的大小；
（2）物块从最高点B飞出后在水平面上的落点到轨道最低点A的距离．
（3）半圆轨道内阻力对小球做的功．

Answer 1

分析 因为题干只告诉最高点B时和轨道之间的作用力的大小为0.5mg，但并没有告诉是内轨道还是外轨道的作用力，所以每一问题都要分情况讨论．
（1）由牛顿第二定律可求得小球在最高点的速度；
（2）由平抛运动规律可求得小球落地时的水平位移；
（3）由动能定理求得半圆轨道内阻力对小球做的功．

解答 解：（1）当在最高点小球受到外轨道对它向下的弹力时，设速度为v₁，由牛顿第二定律可得：
0.5mg+mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$，
解得：v₁=$\sqrt{1.5gR}$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{12gR}$；
当在最高点小球受到内轨道对它向上的支持力时，设速度为v₂，由牛顿第二定律可得：
mg-0.5mg=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{R}$，
解得：v₂=$\sqrt{0.5gR}$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{2gR}$；
（2）小球从B点飞出后做平抛运动，设物块从最高点B飞出后在水平面上的落点到轨道最低点A的距离x，则：
竖直方向上：2R=$\frac{1}{2}$gt²
水平方向上：x=vt
联立解得：x=2v$\sqrt{\frac{R}{g}}$，所以：
当v=$\sqrt{1.5gR}$时，x=$\sqrt{6}$R；
当v=$\sqrt{0.5gR}$时，x=$\sqrt{2}$R；
（3）从最低到最高有动能定理可得：-mg•2R+W_f=$\frac{1}{2}$mv²-$\frac{1}{2}$m${v}_{0}^{2}$
当v=$\sqrt{1.5gR}$时，代入数据解得：W_f1=-$\frac{1}{4}$mgR；
当v=$\sqrt{0.5gR}$时，代入数据解得：W_f2=-$\frac{3}{4}$mgR．
答：（1）物块到达最高点B时速度的大小为$\frac{1}{2}$$\sqrt{12gR}$或$\frac{1}{2}$$\sqrt{2gR}$；
（2）物块从最高点B飞出后在水平面上的落点到轨道最低点A的距离为$\sqrt{6}$R或$\sqrt{2}$R；
（3）半圆轨道内阻力对小球做的功为-$\frac{1}{4}$mgR或-$\frac{3}{4}$mgR．

点评 本题考查平抛、动能定理及向心力公式的应用，要注意正确应用向心力公式，并能利用牛顿第二定律列式求解．特别注意题目给定的条件“到达最高点B时和轨道之间的作用力的大小为0.5mg”，并未告诉是内轨道还是外轨道的作用力，所以每一问题都要分情况讨论．