Question

20．相距L=1.5m的足够长金属导轨竖直放置，质量为m₁=1kg的金属棒ab和质量为m₂=0.27kg的金属棒cd均通过棒两端的套环水平地套在金属导轨上，如图（a）所示，虚线上方磁场方向垂直纸面向里，虚线下方磁场方向竖直向下，两处磁场磁感应强度大小相同．ab棒光滑，cd棒与导轨间动摩擦因数为μ=0.75，两棒总电阻为1.8Ω，导轨电阻不计．ab棒在方向竖直向上，大小按图（b）所示规律变化的外力F作用下，从静止开始，沿导轨匀加速运动，同时cd棒也由静止释放．（g=10m/S²）

（1）求出磁感应强度B的大小和ab棒加速度大小；
（2）已知在2s内外力F做功40J，求这一过程中两金属棒产生的总焦耳热；
（3）求出cd棒达到最大速度所需的时间t₀，并在图（c）中定性画出cd棒所受摩擦力f_cd随时间变化的．

Answer 1

分析 （1）由E=BLv、I=$\frac{E}{R}$、F=BIL、v=at，及牛顿第二定律得到F与时间t的关系式，再根据数学知识研究图象（b）斜率和截距的意义，即可求磁感应强度B的大小和ab棒加速度大小．
（2）由运动学公式求出2s末金属棒ab的速率和位移，根据动能定理求出两金属棒产生的总焦耳热．
（3）分析cd棒的运动情况：cd棒先做加速度逐渐减小的加速运动，当cd棒所受重力与滑动摩擦力相等时，速度达到最大；然后做加速度逐渐增大的减速运动，最后停止运动．
cd棒达到最大速度时重力与摩擦力平衡，而cd棒对导轨的压力等于安培力，可求出电路中的电流，再由E=BLv、欧姆定律求出最大速度．

解答 解（1）经过时间t，金属棒ab的速率 v=at
此时，回路中的感应电流为 $I=\frac{E}{R}=\frac{BLv}{R}$，
对金属棒ab，由牛顿第二定律得 F-BIL-m₁g=m₁a
由以上各式整理得：$F={m}_{1}a+{m}_{1}g+\frac{{B}^{2}{L}^{2}}{R}at$
在图线上取两点：t₁=0，F₁=11N； t₂=2s，F₂=14.6N
代入上式得 a=1m/s²，B=1.2T
（2）在2s末金属棒ab的速率 v_t=at=2m/s
所发生的位移 $s=\frac{1}{2}a{t}^{2}=\frac{1}{2}×1×4m=2m$
由动能定律得 ${W}_{F}-{m}_{1}gs-{W}_{安}=\frac{1}{2}{m}_{1}{{v}_{t}}^{2}$，
又 Q=W_安
联立以上方程，解得
Q=W_F-mgs-$\frac{1}{2}m{{v}_{t}}^{2}$=40-1×10×2-$\frac{1}{2}×1×{2}^{2}$=18（J）
（3）cd棒先做加速度逐渐减小的加速运动，当cd棒所受重力与滑动摩擦力相等时，速度达到最大；然后做加速度逐渐增大的减速运动，最后停止运动．
当cd棒速度达到最大时，对cd棒有：m₂g=μF_N
又 F_N=F_安 F_安=BIL
整理解得 m₂g=μBIL
对abcd回路：$I=\frac{E}{R}=\frac{BL{v}_{m}}{R}$
解得 v_m=$\frac{{m}_{2}gR}{μ{B}^{2}{L}^{2}}$，
代入数据解得v_m=2m/s．
由 v_m=at₀ 得 t₀=2s
f_cd随时间变化的图象如图所示．
答：（1）磁感应强度B的大小为1.2T，ab棒加速度大小1m/s²；
（2）这一过程中ab金属棒产生的总焦耳热是18J；
（3）cd棒达到最大速度所需的时间t₀为2s，cd棒所受摩擦力f_cd随时间变化的情况如图．

点评 本题中cd棒先受到滑动摩擦，后受到静摩擦，发生了突变，要仔细耐心分析这个动态变化过程．滑动摩擦力与安培力有关，呈现线性增大．