Question

12．在竖直平面内固定一半径为R的金属细圆环，质量为m的金属小球（视为质点）通过长为L的绝缘细线悬挂在圆环的最高点．当圆环、小球都带有相同的电荷量Q（未知）时，发现小球在垂直圆环平面的对称轴上处于平衡状态，如图所示．已知静电力常量为k．则下列说法中正确的是（　　）

• A． 电荷量Q=$\sqrt{\frac{mg{L}^{3}}{kR}}$
• B． 电荷量Q=$\sqrt{\frac{mg（{L}^{2}-{R}^{2}）{L}^{\frac{3}{2}}}{kR}}$
• C． 线对小球的拉力F=$\frac{mgL}{R}$
• D． 线对小球的拉力F=$\frac{mgR}{\sqrt{{L}^{2}-{R}^{2}}}$

Answer 1

分析 小球受到的库仑力为圆环各点对小球库仑力的合力，则取圆环上△x来分析，再取以圆心对称的△x，这2点合力向右，距离L，竖直方向抵消，只有水平方向；求所有部分的合力Σ△m，即可求得库仑力的表达式；小球受重力、拉力及库仑力而处于平衡，则由共点力的平衡条件可求得绳对小球的拉力及库仑力；则可求得电量．

解答 解：由于圆环不能看作点电荷，我们取圆环上一部分△x，设总电量为Q，则该部分电量为$\frac{△x}{2πR}$Q；
由库仑定律可得，该部分对小球的库仑力F₁=$\frac{KQ△XQ}{2π{L}^{2}R}$，方向沿该点与小球的连线指向小球；
同理取以圆心对称的相同的一段，其库仑力与F₁相同；如图所示，
两力的合力应沿圆心与小球的连线向外，大小为2$\frac{KQ△XQ}{2π{L}^{2}R}$×$\frac{\sqrt{{L}^{2}-{R}^{2}}}{L}$=$\frac{K{Q}^{2}△X}{π{L}^{3}R}\sqrt{{L}^{2}-{R}^{2}}$；
因圆环上各点对小球均有库仑力，故所有部分库仑力的合力F_库=$\frac{K{Q}^{2}\sqrt{{L}^{2}-{R}^{2}}}{π{L}^{3}R}$×πR=$\frac{K{Q}^{2}}{{L}^{3}}\sqrt{{L}^{2}-{R}^{2}}$，方向水平向右；
小球受力分析如图所示，小球受重力、拉力及库仑力而处于平衡，故T与F的合力应与重力大小相等，方向相反；
由几何关系可得：$\frac{T}{L}$=$\frac{mg}{R}$；
则小球对绳子的拉力T=$\frac{mgL}{R}$；

$\frac{F}{\sqrt{{L}^{2}-{R}^{2}}}$=$\frac{mg}{R}$；
则F=$\frac{mg}{R}\sqrt{{L}^{2}-{R}^{2}}$=$\frac{K{Q}^{2}}{{L}^{3}}\sqrt{{L}^{2}-{R}^{2}}$；
解得Q=$\sqrt{\frac{mg{L}^{3}}{kR}}$； 故AC正确，BD错误；
故选：AC．

点评 因库仑定律只能适用于真空中的点电荷，故本题采用了微元法求得圆环对小球的库仑力，应注意体会该方法的使用．
库仑力的考查一般都是结合共点力的平衡进行的，应注意正确进行受力分析．