Question

（08年四川卷）（20分）一倾角为θ＝45°的斜血固定于地面，斜面顶端离地面的高度h₀＝1m，斜面底端有一垂直于斜而的固定挡板。在斜面顶端自由释放一质量m＝0.09kg的小物块（视为质点）。小物块与斜面之间的动摩擦因数μ＝0.2。当小物块与挡板碰撞后，将以原速返回。重力加速度g＝10 m/s²。在小物块与挡板的前4次碰撞过程中，挡板给予小物块的总冲量是多少？

Answer 1

解析：

解法一：

设小物块从高为h处由静止开始沿斜面向下运动，到达斜面底端时速度为v。

由功能关系得

                                 ①

 

以沿斜面向上为动量的正方向。按动量定理，碰撞过程中挡板给小物块的冲量

                                                      ②

 

设碰撞后小物块所能达到的最大高度为h’，则

                                 ③

 

同理，有

                                 ④

 

                                                     ⑤

式中，v’为小物块再次到达斜面底端时的速度，I’为再次碰撞过程中挡板给小物块的冲量。由①②③④⑤式得

                                                              ⑥

 

式中                                                 ⑦

由此可知，小物块前4次与挡板碰撞所获得的冲量成等比级数，首项为

 

                                         ⑧

 

总冲量为 

                        ⑨

 

由                                    ⑩

 

得                              

 

代入数据得     N?s                         

 

解法二：

设小物块从高为h处由静止开始沿斜面向下运动，小物块受到重力，斜面对它的摩擦力和支持力，小物块向下运动的加速度为a，依牛顿第二定律得

                                         ①

 

设小物块与挡板碰撞前的速度为v，则

 

                                                            ②

 

以沿斜面向上为动量的正方向。按动量定理，碰撞过程中挡板给小物块的冲量为

                                                    ③

由①②③式得

                                       ④

 

设小物块碰撞后沿斜面向上运动的加速度大小为a’， 依牛顿第二定律有

 

                                      ⑤

小物块沿斜面向上运动的最大高度为

                                                      ⑥

 

由②⑤⑥式得                                        ⑦

 

式中                                              ⑧

同理，小物块再次与挡板碰撞所获得的冲量

 

                                         ⑨

 

由④⑦⑨式得                                             ⑩

 

由此可知，小物块前4次与挡板碰撞所获得的冲量成等比级数，首项为

 

                                               

总冲量为                  

由                                              

 

得                                         

 

代入数据得     N?s