Question

已知甲、乙两行星的半径之比为a，它们各自对应的第一宇宙速度之比为b，则下列结论正确的是（　　）

• A、甲、乙两行星的质量之比为b²a：1
• B、甲、乙两行星表面的重力加速度之比为b²：a
• C、甲、乙两行星各自的卫星的最小周期之比为a：b
• D、甲、乙两行星各自的卫星的最大角速度之比为a：b

Answer 1

分析：根据重力提供向心力求出行星的第一宇宙速度，结合半径和第一速度之比求出甲乙行星表面的重力加速度之比．根据万有引力等于重力求出甲乙两行星的质量之比．根据万有引力提供向心力得出卫星的最小周期之比和最大角速度之比．

解答：解：A、根据mg=

mv2

R

，则第一宇宙速度为：v=

gR

，
则行星表面的重力加速度为：g=

v2

R

，甲、乙两行星的半径之比为a，它们各自的第一宇宙速度之比为b，
则甲乙两行星的表面重力加速度之比为

b2

a

，
根据mg=

GM m

R2

，则有：M=

gR2

G

，
因为半径之比为a，重力加速度之比为

b2

a

，所以甲乙两行星的质量之比为b²a：1．故A、B正确．
C、轨道半径越小，周期越小，根据

GMm

r2

=m

4π2r

T2

得，
最小周期T=2π

R3 GM

，甲乙两行星的质量之比为ab²：1，半径之比为a，则最小周期之比为a：b．故C正确．
D、轨道半径越小，角速度最大，根据ω=

2π

T

，最小周期之比为a：b，则最大角速度之比为b：a．故D错误．
故选：ABC．

点评：解决本题的关键掌握万有引力的两个理论：1、万有引力提供向心力，2、万有引力等于重力，并能灵活运用．