Question

18．“嫦娥一号”卫星开始绕地球在椭圆轨道运动，经过变轨、制动后，成为一颗绕月球做圆周运动的卫星．设卫星距月球表面的高度为h，做匀速圆周运动的周期为T．已知月球半径为R，引力常量为G．求：
（1）月球的质量M及月球表面的重力加速度g；
（2）在距月球表面高度为h₀的地方（h₀＜＜R），将一质量为m的小球以v₀的初速度水平抛出，求落地瞬间月球引力对小球做功的瞬时功率P．

Answer 1

分析 （1）对嫦娥二号绕月球的运动，由万有引力提供向心力的周期表达式可得月球质量．由月面万有引力等于重力，可得月球表面的重力加速度g．
（2）抛出的物体在竖直方向做自由落体运动，据运动规律求得落地时物体在竖直方向的分速度，根据P=mgv求得重力做功的瞬时功率．

解答 解：（1）万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得：G$\frac{Mm}{（R+h）^{2}}$=m$（\frac{2π}{T}）^{2}$（R+h），
解得：M=$\frac{4{π}^{2}（R+h）^{3}}{G{T}^{2}}$，
月球表面的物体受到的重力等于万有引力，即：G$\frac{Mm′}{{R}^{2}}$=m′g，
解得：$g=\frac{{4{π^2}{{（{R+h}）}^3}}}{{{R^2}{T^2}}}$；
（2）在月球表面高度为h处水平抛出物体，物体落地时竖直方向的速度：v_y²=2gh₀，
所以物体落地时的瞬时功率为：P=mgv_y，
解得：P=$\frac{8{π}^{3}m（R+h）^{4}\sqrt{2（R+h）{h}_{0}}}{{R}^{3}{T}^{3}}$；
答：（1）月球的质量M为$\frac{4{π}^{2}（R+h）^{3}}{G{T}^{2}}$，月球表面的重力加速度g为$\frac{4{π}^{2}（R+h）^{3}}{{R}^{2}{T}^{2}}$；
（2）落地瞬间月球引力对小球做功的瞬时功率P为$\frac{8{π}^{3}m（R+h）^{4}\sqrt{2（R+h）{h}_{0}}}{{R}^{3}{T}^{3}}$．

点评 解决问题的主要思路是万有引力提供环绕天体圆周运动的向心力，星球表面重力与万有引力相等，掌握平抛运动规律及重力做功瞬时功率等于重力与竖直方向速度的乘积．