Question

11．2007年10月我国发射了绕月运行的探月卫星“嫦娥1号”，该卫星的轨道是圆形的，若已知绕月球运动的周期T及月球的半径R，月球表面的重力加速度g_月，引力常量为G． 求：
（1）月球质量；
（2）探月卫星“嫦娥1号”离月球表面的高度；
（3）探月卫星的运行速度．

Answer 1

分析 （1）月球表面的重力加速度g_月，由月球的万有引力提供重力，列出等式求出中心体的质量；
（2）卫星在月球表面做匀速圆周运动，由月球的万有引力提供向心力，列出等式求出探月卫星“嫦娥1号”离月球表面的高度；
（3）已知绕月球运动的周期T，结合（2）的结果即可求出卫星的速度．

解答 解：（1）由万有引力的公式：$\frac{GMm}{{R}^{2}}=m{g}_{月}$
得：$M=\frac{{g}_{月}{R}^{2}}{G}$
（2）由月球的万有引力提供向心力得：$\frac{GMm}{{（R+h）}^{2}}=m（R+h）•\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$
整理得：h=$\root{3}{\frac{GM{T}^{2}}{4{π}^{2}}}-R$=$\root{3}{\frac{{g}_{月}^{2}{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}-R$
（3）由$v=\frac{2π（R+h）}{T}$得
$v=\root{3}{\frac{2πGM}{T}}$=$\root{3}{\frac{2π{g}_{月}{R}^{2}}{T}}$
答：（1）月球质量是$\frac{{g}_{月}{R}^{2}}{G}$；
（2）探月卫星“嫦娥1号”离月球表面的高度是$\root{3}{\frac{{g}_{月}^{2}{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}-R$；
（3）探月卫星的运行速度是$\root{3}{\frac{2π{g}_{月}{R}^{2}}{T}}$．

点评 该题中已知卫星的运行周期和轨道半径，可求出月球的质量，关键要能正确运用万有引力提供向心力．