Question

如图所示，电阻均为R的金属棒a、b，a棒的质量为m，b棒的质量为M，放在如图所示光滑的轨道的水平部分，水平部分有如图所示竖直向下的匀强磁场，圆弧部分无磁场，且轨道足够长；开始给a棒一水平向左的初速度v₀，金属棒a、b与轨道始终接触良好．且a棒与b棒始终不相碰．请问：
（1）当a、b在水平部分稳定后，速度分别为多少？损失的机械能多少？
（2）设b棒在水平部分稳定后，冲上圆弧轨道，返回到水平轨道前，a棒已静止在水平轨道上，且b棒与a棒不相碰，然后达到新的稳定状态，最后a，b的末速度为多少？
（3）整个过程中产生的内能是多少？

Answer 1

分析：（1）由于轨道是光滑的，金属棒a、b运动的过程中，系统动量守恒；
（2）由于b棒在冲上又返回过程中，机械能守恒，返回时速度大小不变，b棒与a棒向右运动过程中，直到稳定，系统动量守恒；
（3）全过程中没有摩擦力的作用，由能量守恒可知，整个过程中产生的内能等于系统机械能的减少量．

解答：解：（1）对a、b棒在水平轨道分析，系统动量守恒；
设v₁是稳定时a、b棒共同速度，
mv₀=（m+M）v₁　　　　          
v₁=

mv0

m+M

　　　　         
损失的机械能为△E
△E=

1

2

mv₀²-

1

2

（m+M）v₁²=

M mv 2 0

2(m+M)

                      
（2）由于b棒在冲上又返回过程中，机械能守恒，返回时速度大小不变
   v₂=v₁                          
b棒与a棒向右运动过程中，直到稳定，系统动量守恒
Mv₂=（m+M）v₃　　　　　　　　　 
达到新的稳定状态a，b的末速度：
　v₃=

Mmv0

(M+m)2

　　　　　　　　
（3）整个过程中产生的内能等于系统机械能的减少量
Q=

1

2

mv₀²-

1

2

（m+M）v₃²=

1

2

mv₀²（1-

M2m

(M+m)3

）　　　　　
答：（1）当a、b在水平部分稳定后，速度

mv0

m+M

，损失的机械能是

M mv 2 0

2(m+M)

，
（2）最后a，b的末速度为

Mmv0

(M+m)2

，
（3）整个过程中产生的内能是

1

2

mv₀²（1-

M2m

(M+m)3

）．

点评：本题很好的考查了机械能守恒、动量守恒和能量守恒定律，把力学和电磁场有机的结合了起来，考查了学生的分析能力，是个好题．