Question

2．如图所示，光滑杆AB长2m，B端固定一根劲度系数为k=40N/m、原长为l₀=1m的轻弹簧，质量为m=0.2kg的小球套在光滑杆上并与弹簧的上端连接．OO′为过B点的竖直轴，杆与水平面间的夹角始终为θ=53°．g取10m/s²
（1）杆保持静止状态，让小球从弹簧的原长位置静止释放，求小球释放瞬间的加速度大小a及小球速度最大时弹簧的压缩量△l₁；
（2）当球随杆一起绕OO′轴匀速转动时，弹簧伸长量为△l₂=0.5m，求匀速转动的角速度ω．

Answer 1

分析 （1）小球从弹簧的原长位置静止释放时，根据牛顿第二定律求解加速度，小球速度最大时其加速度为零，根据合力为零求解；
（2）设弹簧伸长△l₂时，对小球受力分析，根据向心力公式列式求解．

解答 解：（1）小球从弹簧的原长位置静止释放时，根据牛顿第二定律有：mgsinθ=ma 
解得：a=gsinθ=8m/s²
小球速度最大时其加速度为零，则有：k△l₁=mgsinθ
解得：$△{l}_{1}=\frac{mgsinθ}{k}=0.04m$
（2）设弹簧伸长△l₂时，球受力如图所示，
水平方向上有：${F}_{N}sinθ+k△{l}_{2}cosθ=m{ω}^{2}（{l}_{0}+△{l}_{2}）cosθ$
竖直方向上有？：F_Ncosθ-k△l₂sinθ-mg=0
解得：$ω=10\sqrt{2}rad/s$
答：（1）小球释放瞬间的加速度大小a为8m/s²，小球速度最大时弹簧的压缩量△l₁为0.04m；
（2）匀速转动的角速度ω为$10\sqrt{2}rad/s$．

点评 本题考查了牛顿第二定律、胡克定律与圆周运动的综合，知道小球做匀速转动时，靠径向的合力提供向心力，由静止释放时，加速度为零时速度最大，难度适中．