Question

3．一水平的浅色长传送带上放置一煤块（可视为质点），煤块与传送带之间的动摩擦因数为μ．初始时，传送带与煤块都是静止的．现让传送带以恒定的加速度a₀开始运动，当其速度达到v₀后，便以此速度做匀速运动．经过一段时间，煤块在传送带上留下了一段黑色痕迹后，煤块相对于传送带不再滑动．求此黑色痕迹的长度．

Answer 1

分析 刚开始时传送带的速度大于煤块的速度，煤块相对于传送带向后运动，所以在传送带上留下痕迹，当煤块的速度达到v时，煤块和传送带相对静止，此时没有摩擦力，求出传送带的位移和煤块的位移，两者位移之差为黑色痕迹的长度．根据牛顿第二定律和运动学公式结合解答．

解答 解：根据“传送带上有黑色痕迹”可知，煤块与传送带之间发生了相对滑动，煤块的加速度a小于传送带的加速度a₀．根据牛顿第二定律，可得
煤块的加速度大小为  a=$\frac{μmg}{m}$=μg ①
设经历时间t，传送带由静止开始加速到速度等于v₀，煤块则由静止加速到v，有
v₀=a₀t ②
 v=at ③
由于a＜a₀，故v＜v₀，煤块继续受到滑动摩擦力的作用．再经过时间t′，煤块的速度由v增加到v₀，有
v₀=v+at′④
此后，煤块与传送带运动速度相同，相对于传送带不再滑动，不再产生新的痕迹．
设在煤块的速度从0增加到v₀的整个过程中，传送带和煤块移动的距离分别为s₀和s，有  ${s_0}=\frac{1}{2}{a_0}{t^2}+{v_0}t'$ ⑤
   s=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2a}$  ⑥
传送带上留下的黑色痕迹的长度  l=s₀-s  ⑦
由以上各式得  l=$\frac{{v}_{0}^{2}（{a}_{0}-μg）}{2μ{a}_{0}g}$  ⑧
答：此黑色痕迹的长度是$\frac{{v}_{0}^{2}（{a}_{0}-μg）}{2μ{a}_{0}g}$．

点评 解决本题的关键知道要发生相对滑动，传送带的加速度需大于煤块的加速度．黑色痕迹的长度等于传送带的位移和煤块的位移之差．运用牛顿第二定律和运动学公式分段研究．