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【题目】如图所示,一轻弹簧一端同定在倾角为37°的固定光滑直轨道AD的底端AB处,另一端若自由伸长则位于C点,另一端若固定连接一质量为m的小木块,小木块处于B点时恰静止.直轨道与﹣半径为r=0.5R的光滑圆弧轨道相切于D点,E点为圆弧轨道的最高点(且过E点的切线水平).BC=CD=R,A、B、C、D、E均在同一竖直面内.质量为m的一小铁块自D点由静止开始下滑,到达B点后与小木块碰撞,碰撞时间极短,碰撞后共同压缩弹簧,此后运动过程中小铁块与小木块恰不分离.轻弹簧始终处于弹性限度内,重力加速度大小为g,(取sin37°=0.6.cos37°=0.8)求:

(1)小铁块即将与小木块碰撞时的速率为多大;
(2)小铁块即将与小木块碰撞时弹簧的弹性势能为多大;
(3)若小铁块具有沿直线轨道向下的初速度,小铁块的初速度至少为多大.与小铁块碰撞后,才能沿着圆弧轨道运动到E点.

【答案】
(1)解:小铁块沿直轨道下滑时,根据机械能守恒定律有

mg2Rsin37°=

可得 v1=

答:小铁块即将与小木块碰撞时的速率为


(2)小铁块与小木块碰撞前后,由于碰撞时间极短,动量守恒,取沿斜面向下为正方向,由动量守恒定律有

mv1=2mv2

碰后,小铁块与小木块共同压缩弹簧,直至速度减小至零后被反间向上运动,当轻弹簧恰恢复原长时,小铁块与小木块即将分离,故此时小铁块和小木块的速度均为零,根据机械能守恒定律有

+Ep=2mgRsin37°

解得小铁块即将与小木块碰撞时弹簧的弹性势能为 Ep=0.6mgR

答:小铁块即将与小木块碰撞时弹簧的弹性势能为0.6mgR;


(3)设小铁块的初速度为v0.小铁块沿直轨道下滑时,根据机械能守恒定律有

+mg2Rsin37°=

小铁块与小木块碰撞过程,由动量守恒定律有

mv1′=2mv2

碰后,小铁块与小木块共同压缩弹簧,直至速度减小至零后被反间向上运动,当轻弹簧恰恢复原长时,小铁块与小木块即将分离,故此时小铁块和小木块的速度均为零,根据机械能守恒定律有

+Ep=2mgRsin37°+

小铁块与小木块分离后沿CDE恰好运动到E点的过程,由机械能守恒定律有

=mg(Rsin37°+rcos37°+r)+

在最高点E,由重力等于向心力有

mg=m

联立解得 v0=

答:小铁块的初速度至少为 ,与小铁块碰撞后,才能沿着圆弧轨道运动到E点.


【解析】(1)以小铁块为研究对象利用铁块下滑时,机械能守恒求出到达底端时的速度。
(2)铁块和木块碰撞的过程中满足动量守恒先根据动量守恒,求出两物块儿相碰后供述的速度,再根据机械能守恒求铁块被弹出时弹性势能的转换量。(3)小铁棍儿言之轨道下滑利用动能定理,列方程求小铁块的初速度,碰撞过程中动量守恒弹簧弹开五块的过程中,机械能守恒分离后小木块儿,运动过程中机械能守恒,再结合最高点和外力等于向心力列方程组求解即可。

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