Question

15．如图所示，游乐场的过山车可以底朝上在竖直圆轨道上运行，可抽象为图2的模型．半径R=10m的光滑竖直圆轨道和倾角为37°的直轨道EF，通过水平光滑的C′E平滑连接，另有水平减速直轨道FG与EF平滑连接，EG间的水平距离l=40m，现有质量m=500kg的过山车从从C点以速度v_C=8$\sqrt{10}$m/s，进入圆轨道，经C′EF，最终停车G点，过山车与轨道EF的动摩擦因数为μ₁=0.2，与减速直轨道FG的动摩擦因数为μ₂=0.75，过山车可视为质点，运动中不脱离轨道，求：
（1）过山车运动至圆轨道最高点D时的速度大小；
（2）过山车运动至圆轨道最高点D时对轨道的作用力；
（3）减速直轨道FG的长度x．（已知sin37°=0.6，cos37°=0.8）

Answer 1

分析 （1）对C到D的过程运用动能定理，求出过山车运动至圆轨道最高点D时的速度大小；
（2）在D点，根据牛顿第二定律得出轨道对过山车的作用力大小，从而得出过山车对轨道的作用力大小．
（3）对C′到G点运用动能定理，求出减速轨道FG的长度．

解答 解：（1）对C到D的过程运用动能定理得：
$-mg•2R=\frac{1}{2}m{{v}_{D}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}$，
代入数据解得：${v}_{D}=4\sqrt{15}$m/s．
（2）在D点，根据牛顿第二定律得：F+mg=m$\frac{{{v}_{D}}^{2}}{R}$，
代入数据解得：F=7000N，
根据牛顿第三定律知，过山车运动至圆轨道最高点D时对轨道的作用力为7000N，方向向上．
（3）设减速直轨道FG的长度x，对C′到G点运用动能定理得：
-mg（l-x）tan37°-μ₁mgcos37°$•\frac{l-x}{cos37°}$-μ₂mgx=0-$\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}$，
代入数据解得：x=30m．
答：（1）过山车运动至圆轨道最高点D时的速度大小为$4\sqrt{15}$m/s；
（2）过山车运动至圆轨道最高点D时对轨道的作用力为7000N，方向向上；
（3）减速直轨道FG的长度x为30m．

点评 本题考查了动能定理、牛顿第二定律和圆周运动的综合运用，知道圆周运动向心力的来源，运用动能定理解题，要合理选择研究过程，然后列式求解．