Question

如图所示，AB、CD是两根足够长的固定平行金属导轨，两导轨间的距离为L，导轨平面与水平面的夹角是θ．在整个导轨平面内都有垂直于导轨平面斜向上方的匀强磁场，磁感应强度为B．在导轨的AC端连接一个阻值为R的电阻．一根垂直于导轨放置的金属棒ab，质量为m，从静止开始沿导轨下滑，已知ab与导轨间的动摩擦因数为μ，导轨和金属棒的电阻都不计，在棒开始运动到达到最终速度的过程中，整个电路共生热Q，求ab棒的最终速度和棒下滑的距离．

Answer 1

分析：（1）金属棒ab从静止开始沿导轨下滑后，重力沿斜面向下的分力先大于安培力，后等于安培力，金属棒先做加速度逐渐减小的加速运动，最后做匀速运动，达到稳定状态，速度达到最大值．根据E=BLv、I=

E

R

和F=BIL推导出安培力公式，由平衡条件求出最大速度．
（2）金属棒减少的机械能转化为回路中的焦耳热和摩擦生热，由能量转化和守恒定律求解棒下滑的距离．

解答：解：（1）金属棒先沿斜面向下做加速度逐渐减小的加速运动，最后做匀速运动，速度达到最大值．
由E=BLv，I=

E

R

和F=BIL，得安培力 F=

B2L2v

R

由牛顿第二定律得 mgsinθ-BIL-μmgcosθ=ma
解得：a=g（sinθ-μcosθ）-

B2L2v

R

当加速度减小到0时，达到最大速度，设为v_m，
解得 v_m=

mg(sinθ-μcosθ)

B2L2

（2）设棒下滑的距离为x，由能量转化和守恒定律得
   mgsinθ?x=

1

2

m

v

2 m

+μmgcosθ?x+Q
联立解得，x=

m3g2(sinθ-μcosθ)2+2B4L4Q

2B4L4mg(sinθ-μcosθ)

答：ab棒的最终速度是

mg(sinθ-μcosθ)

B2L2

，棒下滑的距离是

m3g2(sinθ-μcosθ)2+2B4L4Q

2B4L4mg(sinθ-μcosθ)

．

点评：本题首先要根据牛顿运动定律分析金属棒的运动情况，确定出速度最大时，导体做匀速运动，其次推导安培力表达式，根据能量守恒定律进行计算．