Question

17．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，第I象限存在沿y轴方向匀强电场，第Ⅳ象限以ON为直径的半圆形区域内，存在垂直于坐标平面内向外的匀强磁场，磁感应强度为B．一质量m、电荷量为q的带正电的粒子，从y轴正半轴上y=h处的M点，以速度v₀垂直于y轴射入电场，经x轴上x=2h处的P点进入磁场，最后以垂直于y轴的方向磁场，不计粒子重力．求：
（1）电场强度大小E；
（2）粒子通过磁场最后打在y轴的位置；
（3）粒子从进入电场到离开磁场经历的总时间t．

Answer 1

分析 （1）根据类平抛运动的水平分位移公式和竖直分位移公式以及牛顿第二定律列式求解；
（2）对类似平抛运动运用动能定理求解出末速度，对圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力列式求解出轨道半径．由几何关系即可确定打y轴上的距离．
（3）粒子的运动分为两部分，一是在第一象限内做类平抛运动，二是在第四象限内做匀速圆周运动，分段求出时间，相加可得总时间．

解答 解：（1）设粒子在电场中运动的时间为t₁
x方向：2h=v₀t₁
y方向：h=$\frac{1}{2}$at₁²
根据牛顿第二定律：Eq=ma
联立以上三式，解得：E=$\frac{m{v}_{0}^{2}}{2qh}$；
（2）类平抛运动过程，根据动能定理：Eqh=$\frac{1}{2}$mv²-$\frac{1}{2}$mv₀²
将E的表达式代入上式，得：v=$\sqrt{2}$v₀
由牛顿第二的咯得：Bqv=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，
解得：r=$\frac{\sqrt{2}m{v}_{0}}{qB}$，
打在y轴上的距离为：-（r+rsin45°）=-$\frac{\sqrt{2}m{v}_{0}}{qB}$（1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$）；
（3）粒子在电场中运动的时间：t₁=$\frac{2h}{{v}_{0}}$
粒子在磁场中运动的周期：T=$\frac{2πm}{qB}$，
根据粒子入射磁场时与x轴成45°，射出磁场时垂直于y轴，
可求出粒子在磁场中运动的圆弧所对的圆心角为135°．
故粒子在磁场中运动的时间为：t₂=$\frac{3}{8}$T，
求出 t=t₁+t₂=$\frac{2h}{{v}_{0}}$+$\frac{3πm}{4qB}$；
答：（1）电场强度大小E为$\frac{m{v}_{0}^{2}}{2qh}$；
（2）粒子通过磁场最后打在y轴的位置坐标为（0，-$\frac{\sqrt{2}m{v}_{0}}{qB}$（1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$）；
（3）粒子从进入电场到离开磁场经历的总时间t为$\frac{2h}{{v}_{0}}$+$\frac{3πm}{4qB}$．

点评 该题考查了电场和磁场边界问题，不同场的分界面上，既是一种运动的结束，又是另一种运动的开始，寻找相关物理量尤其重要．
粒子在电场中运动偏转时，常用能量的观点来解决问题，有时也要运用运动的合成与分解．
点粒子做匀速圆周运动的圆心、半径及运动时间的确定也是本题的一个考查重点
圆心的确定：因洛伦兹力提供向心力，洛伦兹力总垂直于速度，画出带电粒子运动轨迹中任意两点（一般是射入磁场和射出磁场的两点）洛伦兹力的方向，其延长的交点即为圆心．或射入磁场和射出磁场的两点间弦的垂直平分线与一半径的交点即为圆心．
半径的确定：半径一般都在确定圆心的基础上用平面几何知识求解，常常是解直角三角形．
运动时间的确定：利用圆心与弦切角的关系计算出粒子所转过的圆心角θ的大小，用公式t=$\frac{θ}{360°}$T可求出运动时间．
再者就是要正确画出粒子运动的轨迹图，能熟练的运用几何知识解决物理问题．