Question

8．如图所示，电阻忽略不计的、两根两平行的光滑金属导轨竖直放置，其上端接一阻值为3Ω的定值电阻R．在水平虚线L₁、L₂间有一与导轨所在平面垂直的匀强磁场B，磁场区域的高度为d=0.5m．导体棒a的质量m_a=0.2kg、电阻R_a=3Ω；导体棒b的质量m_b=0.1kg、电阻R_b=6Ω，它们分别从图中M、N处同时由静止开始在导轨上无摩擦向下滑动，都能匀速穿过磁场区域，且当b刚穿出磁场时a正好进入磁场．设重力加速度为g=10m/s²，不计a、b棒之间的相互作用．导体棒始终与导轨垂直且与导轨接触良好．求：
（1）在整个过程中，a、b两棒分别克服安培力所做的功；
（2）M点和N点距L₁的高度．

Answer 1

分析 （1）棒匀速通过磁场，克服安培力所做的功等于重力做功．
（2）由法拉弟电磁感应定律、欧姆定律、力平衡等推导两棒在磁场中运动的速度，结合运动学公式，求出时间和高度．

解答 解：（1）两金属棒都是匀速穿过磁场的，安培力与重力等大，
克服安培力做功分别为：W_a=m_agd=0.2×10×0.5J=1J，
W_b=m_bgd=0.1×10×0.5J=0.5J；
（2）设b在磁场中匀速运动时速度为v_b，总电阻：R₁=7.5Ω，
b中的电流：${I_b}=\frac{{BL{v_b}}}{R_1}$，
由平衡条件得：m_bg=BI_bL，
即：$\frac{{{B^2}{L^2}{v_b}}}{R_1}={m_b}g$，
同理，设a在磁场中匀速运动时速度为v_a，
总电阻R₂=5Ω，由平衡条件得：m_ag=BI_aL，
即：$\frac{{{B^2}{L^2}{v_a}}}{R_2}={m_a}g$，
由以上各式得：$\frac{v_b}{v_a}=\frac{3}{4}$，
设b棒在磁场中运动的时间为t，
位移：d=v_btv_a=v_b+gt，
由以上各式得：${v_a}^2=\frac{80}{3}{m^2}/{s^2}$，${v_b}^2=15{m^2}/{s^2}$，
a、b棒开始时距离磁场边界L₁的高度分别为h_a、h_b，
由v²=2gh得：v_a²=2gh_a，v_b²=2gh_b，解得：h_a=$\frac{4}{3}m$，h_b=$\frac{3}{4}$m；
答：（1）在整个过程中，a、b两棒分别克服安培力所做的功为：1J、0.5J；（2）M点和N点距L₁的高度分别是：$\frac{4}{3}$m、$\frac{3}{4}$m．

点评 本题电磁感应中的力学问题，电磁与力联系桥梁是安培力，这种类问题往往要分析和计算安培力的大小．本题的关键是寻找两棒之间的关系式υ_a=υ_b+gt．