Question

8．水平面上有电阻不计的U形导轨MNPQ，宽度为L，N和P之间接入电动势为E的电源（不计内阻）．现垂直导轨放置质量为m、电阻为R的金属棒ab，金属棒与导轨间的动摩擦因数为μ，并加范围较大的、磁感应强度大小为B匀强磁场，磁场方向与水平面夹角为θ且指向右上方，如图所示．求：
（1）当ab棒静止时，ab棒受到的支持力和摩擦力各为多少？
（2）若B的大小和方向均能改变，则要使ab棒所受支持力为零，B的大小至少为多少？此时B的方向如何？
（3）若B的大小和方向均能改变，则要使ab棒恰好处于静止状态，B的大小至少为多少？此时B的方向如何？

Answer 1

分析 （1）对ab受力分析，AB静止，则合力为0；
（2）当ab棒受的支持力为零时，其静摩擦力也必然为零，故最小的安培力应竖直向上；
（3）当安培力与水平方向成θ时，安培力最小．

解答 解：（1）分析可知，金属棒受安培力F指向左上方，与竖直方向夹角为θ．
设金属棒中的电流为I，由闭合电路的欧姆定律和安培力公式得：
E=IR
F=BIL
设ab棒受到的支持力为F_N、摩擦力为F_f，由共点力的平衡条件得：
F_f=Fsinθ
F_N+Fcosθ=mg
联立解得：F_N=mg-$\frac{BELcosθ}{R}$
F_f=$\frac{BELsinθ}{R}$；
（2）分析可知，当ab棒受的支持力为零时，其静摩擦力也必然为零，
故最小的安培力应竖直向上，对应的磁感应强度大小为最小值，设为B_min，由平衡条件得：
B_minIL=mg
解得：B_min=$\frac{mgR}{EL}$
由左手定则判断B的方向应水平向右；
（3）当安培力与水平方向成θ时，安培力最小，此时tanθ=μ
解得：B=$\frac{mgRsinθ}{EL}$ （其中tanθ=μ）
由左手定则判断B的方向应与竖直方向成θ=arctanμ角；
答：（1）当ab棒静止时，ab棒受到的支持力为mg-$\frac{BELcosθ}{R}$，摩擦力为$\frac{BELsinθ}{R}$；
（2）若B的大小和方向均能改变，则要使ab棒所受支持力为零，B的大小至少为 $\frac{mgR}{EL}$，此时B的方向水平向右；
（3）若B的大小和方向均能改变，则要使ab棒恰好处于静止状态，B的大小至少为$\frac{mgRsinθ}{EL}$，此时B的方向与竖直方向成θ=arctanμ角．

点评 这是一道临界问题，根据导体棒不同的情况，判断出安培力方向，再求出磁感应强度的大小和方向．