Question

（23分）有一竖直放置、两端封闭的长玻璃管，管内为真空，管内有一小球自某处自由下落（初速度为零），落到玻璃管底部时与底部发生弹性碰撞．以后小球将在玻璃管内不停地上下跳动。现用支架固定一照相机，用以拍摄小球在空间的位置。每隔一相等的确定的时间间隔T拍摄一张照片，照相机的曝光时间极短，可忽略不计。从所拍到的照片发现，每张照片上小球都处于同一位置。求小球开始下落处离玻璃管底部距离（用H表示）的可能值以及与各H值相应的照片中小球位置离玻璃管底部距离的可能值。

Answer 1

解法一

小球沿竖直线上下运动时，其离开玻璃管底部的距离h随时间t变化的关系如图所示．设照片拍摄到的小球位置用A表示，A离玻璃管底部的距离为h_A，小球开始下落处到玻璃管底部的距离为H.小球可以在下落的过程中经过A点，也可在上升的过程中经过A点.现以表示小球从最高点（即开始下落处）落到玻璃管底部所需的时间（也就是从玻璃管底部反跳后上升到最高点所需的时间），表示小球从最高点下落至A点所需的时间（也就是从A点上升至最高点所需的时间），表示小球从A点下落至玻璃管底部所需的时间（也就是从玻璃管底部反跳后上升至A点所需的时间）.显然，.根据题意，在时间间隔Τ 的起始时刻和终了时刻小球都在A点．用n表示时间间隔 Τ 内（包括起始时刻和终了时刻）小球位于A点的次数（n≥2）.下面分两种情况进行讨论：

1．A点不正好在最高点或最低点．

当n为奇数时有

                             （1）

在（1）式中，根据题意可取中的任意值，而

                        （2）

当n为偶数时有

                      （3）

由（3）式得

                                                                           （4）

由（1）、（3）、（4）式知，不论n是奇数还是偶数，都有

                                                                   （5）

因此可求得，开始下落处到玻璃管底部的距离的可能值为

                                                          （6）

若用表示与n对应的H值，则与相应的A点到玻璃管底部的距离

                                                                  （7）

当n为奇数时，可取中的任意值，故有

                                            n=3,5,7,· · ·                  （8）

可见与相应的的可能值为0与之间的任意值．

当n为偶数时，，由（6）式、（7）式求得的可能值

                                               n=2,4,6,· · ·                （9）

2．若A点正好在最高点或最低点．

无论n是奇数还是偶数都有

                               n=2,3,4,· · ·        （10）

                   n=2,3,4,· · ·        （11）

                     n=2,3,4,· · ·        （12）

或

               （13）

解法二

因为照相机每经一时间间隔T拍摄一次时，小球都位于相片上同一位置，所以小球经过该位置的时刻具有周期性，而且T和这个周期的比值应该是一整数．下面我们就研究小球通过某个位置的周期性．

设小球从最高点（开始下落处）落下至管底所需时间为τ ，从最高点下落至相片上小球所在点（A点）所需时间为，从A点下落至管底所需时间为，则

               （1）

（小球上升时通过相应路程段所需时间与下落时同一路程所需时间相同，也是τ、和）

从小球在下落过程中经过A点时刻开始，小球经过的时间后上升至A点，再经过时间后又落到A点，此过程所需总时间为．以后小球将重复这样的运动．小球周期性重复出现在A点的周期是多少？ 分两种情况讨论：

（1）． ，和都不是小球在A点重复出现的周期，周期是．

（2）． ，小球经过时间回到A点，再经过时间又回到A点，所以小球重复出现在A点的周期为τ．

下面就分别讨论各种情况中的可能值和A点离管底的距离的可能值．（如果从小球在上升过程中经过A点的时刻开始计时，结果一样，只是和对调一下）

1．H的可能值

       （1）．较普遍的情况，．与的比值应为一整数，的可能值应符合下式

       ，           （2）

由自由落体公式可知，与此相应的的数值为

                    （3）

（2）．．的可能值应符合下式

                          （4）

故的可能值为

                  （5）

当为偶数时，即时，（5）式与（3）式完全相同．可见由（3）式求得的的可能值包含了的全部情况和的一部分情况．当为奇数时，即时，由（5）式得出的的可能值为

                    （6）

它们不在（3）式之内，故（3）式和（6）式得出的合在一起是的全部的可能值．

2．与各H值相应的的可能值

a.与相应的的可能值

由于在求得（3）式时未限定A点的位置，故的数值可取0和之间的任意值，即

                           （7）

b. 与（为奇数）相应的的可能值

这些数值与A位于特定的位置，，相对应，所以对于每一个对应的是一个特定值，它们是

                       （8）

评分标准：

本题23分