Question

11．由中国科学院、中国工程院两院院士评出的2012年中国十大科技进展新闻，于2013年1月19日揭晓，“神九”载人飞船与“天宫一号”成功对接排在第一．若地球半径为R，把地球看做质量分布均匀的球体，地球表面的重力加速度大小为g，引力常量为G．天宫一号轨道距离地面高度为h．
（1）“天宫一号”绕地心转一周的时间是多少？
（2）设想地球的密度不变，自转周期不变，但地球球体半径变为原来的一半，仅考虑地球和同步卫星之间的相互作用力，则该“设想地球”的同步卫星的轨道半径与以前地球的同步卫星轨道半径的比值是多少？

Answer 1

分析 （1）根据万有引力提供向心力，以及万有引力等于重力，求出）“天宫一号”绕地心转一周的时间；
（2）根据万有引力提供向心力，抓住地球质量的变化求出轨道半径之比

解答 解：（1）根据万有引力提供向心力有：$G\frac{Mm}{（R+h）_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}（R+h）$
根据万有引力等于重力有：$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=mg$
解得：$T=\sqrt{\frac{4{π}_{\;}^{2}（R+h）_{\;}^{3}}{g{R}_{\;}^{2}}}$
（2）地球同步卫星的万有引力提供同步卫星所需的向心力，${M}_{1}^{\;}$为地球质量，${M}_{2}^{\;}$为“设想地球”的质量，有：
$G\frac{{M}_{1}^{\;}m}{{r}_{1}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}{r}_{1}^{\;}$
$G\frac{{M}_{2}^{\;}m}{{r}_{2}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}{r}_{2}^{\;}$
地球质量${M}_{1}^{\;}=ρ\frac{4}{3}π{R}_{\;}^{3}$
“设想地球”的质量${M}_{2}^{\;}=ρ\frac{4}{3}π（\frac{R}{2}）_{\;}^{3}$
联立解得：$\frac{{r}_{2}^{\;}}{{r}_{1}^{\;}}=\frac{1}{2}$
答：（1）“天宫一号”绕地心转一周的时间是$\sqrt{\frac{4{π}_{\;}^{2}（R+h）_{\;}^{3}}{g{R}_{\;}^{2}}}$
（2）“设想地球”的同步卫星的轨道半径与以前地球的同步卫星轨道半径的比值是1：2

点评 解决本题的关键掌握万有引力定律的两个重要理论：1、万有引力等于重力，2、万有引力提供向心力，并能灵活运用．