Question

15．在如图所示的xoy平面直角坐标系中，一足够长绝缘薄板正好和x轴的正半轴重合，在y＞a和y＜-a的区域内均分布着方向垂直纸面向里的相同的匀强磁场．一带正电粒子，从y轴上的（0，a）点以速度v沿与y轴负向成45°角出射．带电粒子与挡板碰撞前后，x方向的分速度不变，y方向的分速度反向、大小不变．已知粒子质量为m，电荷量为q，磁感应强度的大小B=$\frac{\sqrt{2}mv}{4qa}$．不计粒子的重力．
（1）求粒子进入下方磁场后第一次打在绝缘板上的位置
（2）若在绝缘板上的合适位置开一小孔，粒子穿过后能再次回到出发点．写出在板上开这一小孔可能的位置坐标（不需要写出过程） 
（3）在满足（2）的情况下，求粒子从出射到再次返回出发点的时间．

Answer 1

分析 （1）作出粒子的运动轨迹，根据半径公式求出粒子在磁场中运动的半径，结合几何关系求出粒子进入下方磁场后第一次打在绝缘板上的位置．
（2）根据几何关系求出板上开这一小孔可能的位置坐标．
（3）根据转过的弧长和速度求出运动的时间，注意圆周运动的周期性．

解答 解：（1）粒子的轨迹如图所示，已知$B=\frac{{\sqrt{2}mv}}{4qa}$
由   $qvB=m\frac{v^2}{r}$，
得   $r=2\sqrt{2}a$
下磁场区域中弦长  l=2rsin45°=4a
所以第一次击中点的坐标x=4a-2a-a=a
（2）开孔位置x=6na+a
或 x=6na+5a（n=0，1，2，3，…）
（3）若开孔位置在x=a，所用时间为${t_1}=\frac{{2\sqrt{2}a}}{v}+\frac{{2\sqrt{2}a+\frac{3}{2}πr}}{v}=\frac{{4\sqrt{2}a+3\sqrt{2}πa}}{v}$．
所以在x=6na+a处开孔，粒子运动的时间表达式为${t_{n1}}=\frac{{4\sqrt{2}a+3\sqrt{2}πa}}{v}+n（\frac{{2\sqrt{2}a}}{v}+3×\frac{{2\sqrt{2}a+\frac{3}{2}πr}}{v}+\frac{{\frac{1}{2}πr}}{v}）=\frac{{（4+3π）\sqrt{2}a}}{v}+n×\frac{{（4+5π）2\sqrt{2}a}}{v}$（n=0，1，2，…）             
若开孔在位置x=5a，所用时间为${t_2}=\frac{{2\sqrt{2}a}}{v}+3×\frac{{2\sqrt{2}a+\frac{3}{2}πr}}{v}+1×\frac{{\frac{π}{2}r}}{v}=\frac{{（4+5π）2\sqrt{2}a}}{v}$
所以在x=6na+5a处开孔，粒子运动的时间表达式为${t_{n2}}=（n+1）t_2^{\;}=（n+1）\frac{{（4+5π）2\sqrt{2}a}}{v}$（n=0，1，2，…）  
（或写成 ${t_{n2}}=nt_2^{\;}=n\frac{{（4+5π）2\sqrt{2}a}}{v}$（n=1，2，3，…） 
答：（1）粒子进入下方磁场后第一次打在绝缘板上的位置坐标为a．
（2）板上开这一小孔可能的位置坐标为x=6na+a或 x=6na+5a（n=0，1，2，3，…）
（3）在x=6na+a处开孔，运动的时间为$\frac{（4+3π）\sqrt{2}a}{v}+n×\frac{（4+5π）2\sqrt{2}a}{v}$，在x=6na+5a处开孔，粒子运动的时间为$n\frac{（4+5π）2\sqrt{2}a}{v}$（n=1，2，3，…）

点评 本题考查了带电粒子在磁场中的运动，难度较大，对数学能力的要求较高，关键作出轨迹图，结合半径公式、周期公式进行求解，根据周期性得出通项表达式是关键．