Question

【题目】如图所示，四个半径为1，且完全相同的均质光滑圆球，将它们摆为上下两层且彼此相切，下层三个球、、质量均为，放置在光滑水平面上，上层球的质量为下边三个球质量之和．试

（1）若将下层三个球用一根绳子在球心高度处缠绕，把三个球捆扎在一起，再将第四个球放在上层，问：静止情况下张力为多大？

（2）若在图所示的位置突然剪断绳子，四个球由静止开始运动，问：上下层球在什么位置处开始脱离？

（3）问：上层球第一次落到桌面时，下层三个球的质心运动后所组成等边三角形的边长为多大？

Answer 1

【答案】（1）（2）时上下层球开始脱离（3）

【解析】

设下层球的质量均为，则上层球的质量为．、、、分别为下层球和上层球的球心，为下层球心组成三角形的形心，为与的夹角，如图所示．

（1）系统静止时，由几何关系可知，．

对上层球进行受力分析，如图所示，列方向平衡方程有

，． ①

图3

对下层球进行受力分析，如图所示，列方向平衡方程有

，． ②

联立式①②，可得系统静止时绳子拉力为．

（2）开始时上下层球心的连线与水平方向夹角为，剪断绳子后在位置，设下层球心水平速度为，加速度为，上层球球心下落的速度为，加速度为．

两球脱离前．

由系统的动能定理，有．

整理可得， ③

由刚体运动学原理，上下层球脱离前，下层任一球与上层球球心的加速度之间有如下关系：

． ④

设上层球与下层三球间的相互作用力为，对上层球分析，由质心运动定理有

． ⑤

对下层任一球进行分析，由质心运动定理有

． ⑥

由式③⑥，可得上下层球相互作用力为

． ⑦

上下层球脱离条件为，由式⑦得．

即当时上下层球开始脱离

（3）上下层球脱离后，上层与下层球球心的距离始终大于2，上下两层球不再相碰，将代人式③，可以求出脱离时上层球心的速度为

． ⑧

此时，下层球的质心速度为

． ⑨

运动后，下层球心到静正时下层球心围成的等边三角形中心的距离为

． ⑩

上层球心到桌面间的距离为

．

由式⑧，脱离后上层球接触桌面所需的时间为

．

由式⑨，下层球心在这段时间内又运动距离为

．

由式⑩，当上层球第一次与桌面接触时，下层三个球的质心所组成的等边三角形的边长是