Question

20．如图所示为一半径为R，折射率为n=$\sqrt{3}$的半球形玻璃砖的截面图，O为玻璃砖的球心，B，C分别为直径MN上的两点，现有一细束单色光垂直于直径MN向下射入玻璃砖．
（1）若该单色光从直径上的C点入射，玻璃砖下方恰好没有光线射出，试求光线的入射点C到O点的水平距离．
（2）若该单色光从直径上的B点入射，OB=0.5R，试求出射光线与OA轴线的交点距O点的距离．

Answer 1

分析 （1）该单色光从直径上的C点入射，玻璃砖下方恰好没有光线射出，说明在C点恰好发生了全反射，入射角等于临界角，画出光路图，由临界角公式sinC=$\frac{1}{n}$求解临界角C，由几何关系求解CO距离．
（2）该单色光从直径上的B点入射，在E点发生折射，由折射定律求出折射角，再由几何知识求解即可．

解答 解：（1）如图所示，单色光由C处射入，在玻璃砖上恰好发生全反射，入射角等于临界角C．
由临界角公式，有：sinC=$\frac{1}{n}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$
由几何关系有：$\overline{CO}$=RsinC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$R
（2）若该单色光从直径上的B点入射，光路图如图所示．
则有：sini=$\frac{OB}{R}$=0.5，i=30°
在E点，由折射定律有：n=$\frac{sinr}{sini}$
解得：r=60°
由几何关系可知，∠EFO=∠EOF=i，EO=EF
所以有：$\overline{OF}$=2Rcosi=$\sqrt{3}$R
答：（1）光线的入射点C到O点的水平距离是$\frac{\sqrt{3}}{3}$R．
（2）出射光线与OA轴线的交点距O点的距离是$\sqrt{3}$R．

点评 对于该题审题时，要抓住“玻璃砖下方恰好没有光线射出”的含义，知道光线发生了全反射，要能结合题意作出光路图，灵活运用数学知识求入射角和距离．