Question

19．如图所示内壁光滑的环形槽半径为R，固定在竖直平面内，质量均为m的小球A、B，以等大的速率v₀从圆心等高处同时向上、向下滑入环形槽，若在运动过程中两球均未脱离环形槽，设当地重力加速度为g，则下列叙述中正确的是（　　）

• A． 两球再次相遇时，速率仍然相等，且小于v₀
• B． v₀的最小值为$\sqrt{2gR}$
• C． 小球A通过最高点的机械能小于小球B通过最低点时的机械能
• D． 小球A通过最高点和小球B通过最低点时对环形槽的压力差值为5mg

Answer 1

分析 两个小球在光滑的圆轨道内运动，机械能守恒，据机械能守恒定律分析它们再次相遇时速率关系．A球要到最高点，在最高点的速度v必须满足m$\frac{{v}^{2}}{R}$≥mg．根据机械能守恒和牛顿第二定律求解轨道对两球的支持力之差，得到压力之差．

解答 解：A、两个小球在光滑的圆轨道内运动，只有重力做功，机械能守恒，开始出发时机械能相等，则再次相遇时机械能守恒也相等，速率必定相等，A向上先做减速运动，越过最高点后再做加速运动，B向下先做加速运动，越过最点点后再做减速运动，两球再次相遇时应在水平面的上方，高度大于出发点的高度，由重力势能变大，由机械能守恒定律可知，两球的动能减小，速度小于初速度v₀，故A正确．
B、设A球刚好到最高点时的速率为v，则mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，从出发到最高点的过程，有mgR+$\frac{1}{2}$mv²=$\frac{1}{2}$mv₀²，联立解得：v₀=$\sqrt{\frac{3}{2}gR}$，即小球v₀的最小值为$\sqrt{\frac{3}{2}gR}$，故B错误．
C、根据机械能守恒定律知，小球A通过最高点时的机械能等于小球B通过最低点时的机械能，故C错误．
D、小球A通过最高点时，有mg+N_A=m$\frac{{v}_{A}^{2}}{R}$，小球B通过最低点时，有N_B-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$，
又由机械能守恒得：对A球，有 mgR+$\frac{1}{2}$mv_A²=$\frac{1}{2}$mv₀²，对B球，有 mgR+$\frac{1}{2}$mv₀²=$\frac{1}{2}$mv_B²，
联立解得，N_B-N_A=6mg，则小球A通过最高点和小球B通过最低点时对环形槽的压力差值为6mg，故D错误．
故选：A．

点评 本题的关键要掌握机械能守恒和向心力知识，要准确把握小球到达最高点的临界条件，熟练运用机械能守恒定律和牛顿运动定律处理这类问题．