Question

16．据媒体报道，天文学家日前在距离地球127光年处发现了一个拥有7颗行星的“太阳系”，这些行星与其中央恒星之间遵循基本天体运行规律，和我们太阳系的规则相似．分析显示，该“太阳系”中一个行星绕中央恒星的公转周期是地球绕太阳公转周期的m倍；该行星与中央恒星的距离等于太阳和地球之间平均距离的n倍，行星与地球的公转轨道都可视为圆．
（1）求该“太阳系”中恒星的质量与太阳的质量之比．
（2）若已知该行星的质量是地球质量的p倍，半径是地球半径的q倍，求该行星的第一宇宙速度与地球的第一宇宙速度之比．

Answer 1

分析 （1）根据引力提供向心力，结合向心力表达式，即可求解；
（2）由牛顿第二定律，结合引力提供向心力，即可求解．

解答 解：（1）设“太阳系”中恒星质量为M₁，行星的质量为m₁，行星绕中央恒星运转的轨道半径为r₁，周期为T₁；太阳质量为M₂，地球质量为m₂，地球绕太阳运转的轨道半径为r₂，周期为T₂
对行星：G$\frac{{M}_{1}{m}_{1}}{{{r}_{1}}^{2}}$=m₁r₁（$\frac{2π}{{T}_{1}}$）²　
对地球：G$\frac{{M}_{2}{m}_{2}}{{{r}_{2}}^{2}}$=m₂r₂（$\frac{2π}{{T}_{2}}$）²　
联立解得：$\frac{{M}_{1}}{{M}_{2}}$=$\frac{{{T}_{2}}^{2}{{r}_{1}}^{3}}{{{T}_{1}}^{2}{{r}_{2}}^{3}}$=$\frac{{n}^{3}}{{m}^{2}}$．
（2）设该行星的第一宇宙速度为v₁，行星半径为R₁，则有：
G$\frac{{m}_{1}m}{{{R}_{1}}^{2}}$=m$\frac{{{v}_{1}}^{2}}{{R}_{1}}$，
解得：v₁=$\sqrt{\frac{G{m}_{1}}{{R}_{1}}}$　
设地球的第一宇宙速度为v₂，地球半径为R₂，则有：
G$\frac{{m}_{2}m}{{{R}_{2}}^{2}}$=m$\frac{{{v}_{2}}^{2}}{{R}_{2}}$，
解得：v₂=$\sqrt{\frac{G{m}_{2}}{{R}_{2}}}$　
$\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}$=$\sqrt{\frac{{m}_{1}}{{m}_{2}}•\frac{{R}_{2}}{{R}_{1}}}$=$\sqrt{\frac{p}{q}}$．
答：（1）该“太阳系”中恒星的质量与太阳的质量之比$\frac{{n}^{3}}{{m}^{2}}$．
（2）该行星的第一宇宙速度与地球的第一宇宙速度之比$\sqrt{\frac{p}{q}}$．

点评 考查牛顿第二定律的应用，掌握引力定律与向心力表达式的内容，理解向心力的来源是解题的关键．