Question

假设宇宙中存在一些离其它恒星较远的、由质量相等的四颗星组成的四星系统，设其它星体对它们的引力作用可忽略．已知稳定的四星系统存在两种基本构成形式，一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，第四颗位于其中心，顶点上的三颗星沿外接于等边三角形的圆形轨道运行；另一种形式是四颗星位于正方形的四个顶点上，围绕正方形的中心做圆轨道运行．设所有星体的质量均相等，等边三角形边长和正方形边长相等，试求出这两种情况下四星系统的运动周期T₁和T₂之比．

Answer 1

分析：明确研究对象，对研究对象受力分析，找到做圆周运动所需向心力的来源．
在四颗星组成的四星系统中，其中任意一颗星受到其它三颗星对它的合力提供圆周运动的向心力，
根据F_合=mr（

2π

T

）²，求出星体匀速圆周运动的周期．

解答：解：对于第一种形式：
其轨道半径为r₁=

3

3

a
由万有引力定律和向心力公式得：

Gm2

r 2 1

+2

Gm2

a 2

cos30°=mr₁

4π2

T 2 1

解得：T₁=2πa 

a 3(1+ 3 )Gm

①
对于第二种形式：星体在其他三个星体的万有引力作用下围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，其轨道半径半径r₂=

2

2

a
由万有引力定律和向心力公式得：

Gm2

2a 2

+2

Gm2

a 2

cos45°=mr₂

4π2

T 2 2

解得：T₂=2πa

2a (4+ 2 )Gm

②
由①②解得：

T1

T2

=

(4+ 2 )( 3 -1) 12

答：这两种情况下四星系统的运动周期之比

(4+ 2 )( 3 -1) 12

．

点评：知道在四颗星组成的四星系统中，其中任意一颗星受到其它三颗星对它的合力提供圆周运动的向心力．
万有引力定律和牛顿第二定律是力学的重点，在本题中有些同学找不出什么力提供向心力，关键在于进行正确受力分析．