Question

6．如图所示，AB为固定在竖直面内、半径为R的四分之一圆弧形光滑轨道，其末端（B端）切线水平，且距水平地面的高度也为R； 1、2两小滑块（均可视为质点）用轻细绳拴接在一起，在它们中间夹住一个被压缩的微小轻质弹簧．两滑块从圆弧形轨道的最高点A由静止滑下，当两滑块滑至圆弧形轨道最低点时，拴接两滑块的细绳突然断开，弹簧迅速将两滑块弹开，滑块2恰好能沿圆弧形轨道运动到轨道的最高点A．已知R=0.45m，滑块1的质量m₁=0.16kg，滑块2的质量m₂=0.04kg，重力加速度g取10m/s²，空气阻力可忽略不计．求：
（1）两滑块一起运动到圆弧形轨道最低点细绳断开前瞬间对轨道的压力的大小；
（2）在将两滑块弹开的整个过程中弹簧释放的弹性势能；
（3）滑块2的落地点与滑块1的落地点之间的距离．

Answer 1

分析 （1）12在下滑过程中机械能守恒求得到达底端的速度，根据牛顿第二定律求得与轨道的相互作用力；
（2）对2根据机械能守恒求得弹簧弹开后的速度，利用动量定理求得1的速度，根据能量守恒求得弹簧的弹性势能；
（3）12两物体做平抛运动，根据平抛运动的特点求得水平位移即可求得

解答 解：（1）设两滑块一起滑至轨道最低点时的速度为v，所受轨道的支持力为N．对两滑块一起沿圆弧形轨道下滑到B端的过程，根据机械能守恒定律有：
（m₁+m₂）gR=$\frac{1}{2}$（m₁+m₂）v²，
代入数据解得：v=3.0m/s
对于两滑块在轨道最低点，根据牛顿第二定律有：
N-（m₁+m₂）g=（m₁+m₂）$\frac{{v}^{2}}{R}$
解得：N=3（m₁+m₂）g=6.0N
根据牛顿第三定律可知，两滑块对轨道的压力大小为：N′=N=6.0N
（2）设弹簧迅速将两滑块弹开时，两滑块的速度大小分别为v₁和v₂，因滑块2恰好能沿圆弧形轨道运动到轨道最高点A，此过程中机械能守恒，所以对滑块2有：
m₂gR=$\frac{1}{2}$m₂v₂²
代入数据解得：v₂=3.0m/s，方向向左
对于弹簧将两滑块弹开的过程，设水平向右为正方向，根据动量守恒定律有：
（m₁+m₂）v=m₁v₁-m₂v₂
代入数据解得：v₁=4.5m/s
对于弹簧将两滑块弹开的过程，根据机械能守恒定律有：
E_弹=$\frac{1}{2}$ m₁v₁²+$\frac{1}{2}$ m₂v₂²-$\frac{1}{2}$（m₁₊m₂）v²
代入数据解得：E_弹=0.90J
（3）设两滑块平抛运动的时间为t，根据h=$\frac{1}{2}$gt²，
解得两滑块做平抛运动的时间为：t=$\sqrt{\frac{2R}{g}}$=0.30s
滑块1平抛的水平位移为：x₁=v₁t=1.35m
滑块2从B点上滑到A点，再从A点返回到B点的过程，机械能守恒，因此其平抛的速度大小仍为v₂，所以其平抛的水平位移为：x₂=v₂t=0.90m
所以滑块2的落地点与滑块1的落地点之间的距离为：△x=x₁-x₂=0.45m
答：（1）两滑块一起运动到圆弧形轨道最低点细绳断开前瞬间对轨道的压力的大小为6.0N；
（2）在将两滑块弹开的整个过程中弹簧释放的弹性势能为0.90J；
（3）滑块2的落地点与滑块1的落地点之间的距离为0.45m．

点评 解决本题首先要分析清楚物体的运动的情况，明确滑块在轨道上运动时，机械能守恒．从最低点做平抛运运动即可求得．