Question

如图甲所示，M和N是相互平行的金属板，OO₁O₂为中线，O₁为板间区域的中点，P是足够大的荧光屏．带电粒子连续地从O点沿OO₁方向射入两板间．

（1）若在两板间加恒定电压U，M和N相距为d，板长为L（不考虑电场边缘效应），入射粒子是电量为e、质量为m的电子，求打在荧光屏P上偏离点O₂最远的粒子的动能
（2）若在两板间加如图乙所示的交变电压u，M和N相距为d，板长为L（不考虑电场边缘效应）．入射粒子是电量为e、质量为m的电子．某电子在t₀=

L

4v0

时刻以速度v₀射入电场，要使该电子能通过平行金属板，试确定U₀应满足的条件．

Answer 1

分析：（1）电子在两极板间受到与初速度垂直的电场力作用，由牛顿第二定律表示出加速度a，电子在金属板间的运动时间与初速度和板长有关，由初速度和板长表示出运动时间，偏离O₂最远的粒子恰好经过金属板的边缘，此时在电场力方向上的位移是板间距离的一半，由运动学公式可表示出位移与运动时间的关系式，综上所述，结合动能定理可求出偏离点O₂最远的粒子的动能．
（2）由图先求出交变电压的周期以及电子通过金属板的时间，判断分析电子能通过金属板的过程，可知进入金属板的时刻为

3

8

T，射出金属板的时刻为

15

8

T．根据电子射入时刻和交变电压的变化规律，把时间分为4段，即为

3

8

T～

5

8

T、

5

8

T～

11

8

T、

11

8

T～

13

8

T、

13

8

T～

15

8

T，分别求出各时间段的位移，四段的位移之和应不大于

d

2

，列式可求出所加电压的范围．

解答：解：
（1）电子在两极板间的加速度：a=

eU

md

通过金属板的时间为：t=

L

v

对打在荧光屏P上偏离O₂最远的粒子有：

d

2

=

1

2

at2
此时粒子的动能为：Ek=

1

2

eU+

1

2

mv2
以上各式联立解得：Ek=

eU(d2+L2)

2d2

（2）交变电压的周期为：T=

2L

3v0

，则有：t0=

L

4v0

=

3

8

T
电子通过金属板的时间为：t′=

L

v0

=

3

2

T
电子在两极板间的加速度为：a′=

eU0

md

设电子分别在

3

8

T～

5

8

T、

5

8

T～

11

8

T、

11

8

T～

13

8

T、

13

8

T～

15

8

T时间内沿垂直于初速度方向运动的位移依次为y₁、y₂、y₃、y₄则有：
y1=y3=-a′(

T

2

-t0)2
y2=a′(

3

8

T)2
y4=

1

2

a′ (

T

4

)2
要使电子能通过平行金属板，应满足条件：
y1 +y2+y3+y4≤

d

2

以上各式联立得：U0≤

8md2 v 2 0

eL2

答：（1）打在荧光屏P上偏离点O₂最远的粒子的动能为Ek=

eU(d2+L2)

2d2

（2）要使该电子能通过平行金属板，U₀应满足U0≤

8md2 v 2 0

eL2

点评：该题首先考察了电场力做功与带点粒子动能的变化之间的关系，在没有其他力做功的情况下，电场力所做的功就等于带电粒子动能的变化．该题还对带电粒子在交变电压所形成的电场中运动规律进行了考察，带电粒子在交变电场中仍然遵循牛顿运动定律、运动的合成与分解、动量定理、动能定理等力学规律．此类问题研究的方法与质点动力学相同．在处理此类问题时要把握初始条件，正确分析交变电压作用下的带电粒子的受力和运动情况，根据运动和力的关系，构建物理模型，选用合适的规律解题．